線性流形上Hermite廣義Hamilton矩陣的最佳逼近

【摘要】設X1，B1∈Cn×k1，令S={A∈HHn×n|AX1=B1，B12X+11X11=B12，B11X+12X12=B11，XH11B11=BH12X12}，這里(XH11 XH12)=XH1U，(BH11 BH12)=BH1U，U∈UCn×n.本文考慮下列問題：

問題1：給定X2，B2∈Cn×k2，求A∈S使得‖AX2-B2‖=min.

問題2：給定A∈Cn×n，求使得‖A-‖=infA∈SE‖A-A‖，其中SE是問題1的解集合.

【關鍵詞】Hermite廣義Hamilton矩陣；奇異值分解；最佳逼近

1.引 言

采用如下記號：令Cn×m表示所有n×m復矩陣的集合，UCn×n表示n階酉矩陣的全體，HCn×n表示n階Hermite矩陣的全體，AH和A+分別表示矩陣A的共軛轉置和MoorePenrose廣義逆，Cn×m中矩陣A，B的內積定義為（A，B）=tr(BHA)，由此內積導出的范數‖A‖=(A，A)=(tr(AH，A))12，則此范數為矩陣的Frobenius范數，并且在Cn×m構成一個完備的內積空間，對矩陣A=(aij)s×t，B=(bij)s×t，A*B=(aijbij)s×t表示A與B的Hadamard積.

AORn×n表示n階正交反對稱矩陣的全體，即AORn×n={J|J=-JT，J∈ORn×n}，顯然J∈AORn×n時J2=－In，從而有n=2k（k是一個正整數）.

定義 已知矩陣J∈AORn×n，矩陣A∈Cn×n稱為Hermite廣義Hamilton矩陣，如果AH=A且(AJ)H=AJ，所有n階Hermite廣義Hamilton矩陣的全體記為HHCn×n.

設X1，B1∈Cn×k1，令

S={A∈HHCn×n|AX1=B1，B12X+11X11=B12，B11X+12X12

=B11，XH11B11=BH12X12}.

（1.1）

這里UTjX1=X1j，UTjB1=B1j，X1j，B1j∈Ck×k1（j=1，2）.

本文研究下列問題：

問題1 給定X2，B2∈Cn×k2，求A∈S使得

‖AX2-B2‖=min.

問題2 給定A∈Cn×n，求使得

‖A-‖=infA∈SE‖A-A‖，

（1.2）

其中SE是問題1的解集合.

2.問題1的解

引理1 設A∈HCn×n，J∈AORn×n，且存在矩陣U∈UCn×n使得J=UiIk0

0-iIkUH，則A∈HHCn×n當且僅當

A=U0T

TH0UH.

（2.1）

T∈Ck×k，U=(U1，U2)，U1∈Cn×(n-k)，n=2k，k是一個正整數.

引理2 設X1，B1∈Cn×k1，由引理1可知A∈S，則A=U0T

TH0UH，記UTjX1=X1j，UTjB1=B1j，X1j，B1j∈Ck×k1（j=1，2），假定X1j的奇異值分解為X1j=U(j)Σj0

00V(j)H，其中U(j)=U(j)1 U(j)2∈UCk×k，U(j)1∈Ck×rj，rj=rank(X1j)，Σj=diag(σ1，σ2，…，σrj)，V(j)=(V(j)1 V(j)2)∈UCk1×k1，V(j)1∈Ck1×rj(j=1，2).

記T0=B11X+12+(B12X+11)H(Ik-X12X+12)，M=U(1)2G(U(2)2)H（G∈C(k-r1)×(k-r2)是任意的），A0=U0T0

TH00UH，則（1.1）式中的S可表示為：

S=AA=A0+U0M

MH0UH

(2.2)

引理3 設X∈Cm×k，W∈Cm×l，Y∈Cn×l，Z∈Cn×k，并且X和Y的奇異值分解（SVD）分別為X=UΣ0

00VH，Y=PΓ0

00QH，其中U=（U1，U2)∈UCm×m，V=(V1，V2)∈UCk×k，P=(P1，P2)∈UCn×n，Q=(Q1，Q2)∈UCl×l，Σ=diag(б1，…，бe)>0，Γ=diag(r1，…，rh)>0，e=rank(X)，h=rank(Y)，U1∈Cm×e，V1∈Ck×e，P1∈Cn×h，Q1∈Cl×h，則g(B)=‖BX－Z‖2+‖YHB－WH‖2=min的任一解B∈Cn×m可以表示為

B=PΦ#8226;(PH1ZV1Σ+ΓQH1WHU1)Γ-1QH1WHU2

PH2ZV1Σ-1B22UH.

（2.3）

其中B22∈C(n-h)×(m-e)是任意矩陣，Φ=(φij)h×e，φij=1γ2i+α2j(1≤i≤h，1≤j≤e).

定理1 給定X2，B2∈Cn×k2，令B2=B2-A0X2，UTjX2=X2j，UTjB2=B2j，(j=1，2)，X21，B21∈Ck×k2，假設rank(X2j)=rj(j=1，2)， 且X22，X21的奇異值分解分別為X22=UΣ10

00VH，其中U=(U1 U2)∈UCk×k，V=(V1 V2)∈UCk2×k2，Σ1=diag(σ1，σ2，…，σr2)>0，X21=PΣ20

00QH，其中P=(P1 P2)∈UCk×k，Q=(Q1 Q2)∈UCk2×k2，Σ2=diag(υ1，υ2，…，υr1)>0，U1∈Ck×r2，V1∈Ck2×r2，P1∈Ck×r1，Q1∈Ck2×r1，Φ=(ij)r1×r2，ij=1υ2i+σ2j(1≤i≤r1，1≤j≤r2)，則問題1的解集合可表示為

SE=AA=A1+U0P2M22UH2

U2MH22PH20UH，

(2.4)

其中A1=A0+U0M

MH0UH，

M=PΦ*(PH1B21V1Σ1+Σ2QH1BH22U1)Σ-12QH1BH22U2

PH2B21V1Σ-110UH.

證明 因為A∈S，則由引理2，有

A=A0+U0M

MH0UH.

(2.5)

于是有‖AX2-B2‖2

=A0X2+U0M

MH0UHX2-B22

=0M

MH0UHX2-UHB2

=0M

MH0X21

X22-B21

B222

=‖MX22-B21‖2+‖XH21M-BH22‖2.

(2.6)

由（2.6），可知‖AX2-B2‖=min等價于

‖MX22-B21‖2+‖XH21M-BH22‖2=min.

(2.7)

由引理3，可知

M=PΦ#8226;(PH1B21V1Σ1+Σ2QH1BH22U1)Σ-12QH1BH22U2

PH2B21V1Σ-11M22UH.

=M+P2M22UH2.

(2.8)

將（2.8）代入（2.5），即得（2.4）.

3.問題2的解

定理2 設A∈Cn×n，記UH(A-A1)U=A11A12

A21A22，則問題2的解存在唯一，且可表示為

=A1+U0P2M^22UH2

U2M^H22PH20UH.

（3.1）

其中M^22=PH2(A12+AH21)2U2.

（3.2）

證明 ‖A-A‖2

=A-A1-U0P2M22UH2

U2MH22PH20UH2

=UH(A-A1)U-0P2M22UH2

U2MH22PH202

=‖A11‖2+‖A12-P2M22UH2‖2+‖A21-U2MH22PH2‖2+‖A22‖2

=‖A11‖2+‖PH1A12U1‖2+‖PH1A12U2‖2+‖PH2A12U1‖2+

‖PH2A12U2-M22‖+‖UH1A21P1‖2+‖UH1A21P2‖2+

‖UH2A21P1‖2+‖PH2AH21U2-M22‖2+‖A22‖2.

(3.3)

由（3.3）式可知‖A-A‖=minA∈SE等價于:

‖PH2A12U2-M22‖+‖PH2AH21U2-M22‖2=min.（3.4）

式（3.4）成立，當且僅當

M22=M^22=PH2(A12+AH21)2U2.

（3.5）

將式（3.5）代入（2.4），得問題2的解（3.1）和（3.2）.

【參考文獻】

［1］戴華.Hermite廣義Hamilton矩陣反問題解存在的條件［J］.江蘇大學學報（自然科學版），2004，25（1）：40-43.

［2］張磊，謝冬秀.一類逆特征值問題［J］.數學物理學報，1993，13（1）：94-99.

［3］袁永新，戴華.線性流形上的廣義中心對稱矩陣反問題［J］.計算數學，2005，27（4）：383-393.