淺析數歸的高考新走向

【摘要】數學歸納法是高考中頻繁出現的證明方法之一，是高考壓軸題的熱點與難點.本文以近年高考中出現的數歸應用為切入點，分析2011年高考數學中數學歸納法的新走向.

【關鍵詞】數學歸納法；高考；新走向

數學歸納法（簡稱“數歸”）是一種重要的數學證明方法和思想方法，在近年高考中它有著廣泛的應用.它是推理能力的一種體現，也是高考數學中的一個熱點與難點.下面是2008~2010年全國各省市高考理科數學綜合考查數歸的情況表：

內容上，高考理科數學只在證明不等式、數列通項公式的探求、數列的單調性和有界性等方面考查數學歸納法；題型上，曾出現選擇題的考查方式，而近年來更多出現在壓軸題上；能力上，要求學生具備良好的邏輯推理能力和化歸能力.例如以下兩道題型：

例1 （2007年上海理15）已知f(x)是定義域為正整數集的函數，對于定義域內任意的k，若f(k)≥k2成立，則f(k+1)≥(k+1)2成立，下列命題成立的是（）.

A.若f(3)≥9成立，則對于任意k≥1，均有f(k)≥k2成立

B.若f(4)≥16成立，則對于任意k≥4，均有f(k)

C.若f(7)≥49成立，則對于任意k<7，均有f(k)

D.若f(4)=25成立，則對于任意k≥4，均有f(k)≥k2成立

答案 D.

例2 （2010年全國Ⅰ22）已知數列{an}中，a1=1，an+1=c-1an.

（1）設c=52，bn=1an-2.求數列{bn}的通項公式.

（2）求使不等式an

解 由于（1）的解法不需用到數學歸納法，所以下面只介紹（2）的解法.

（2）a1=1，a2=c-1，由a12.

用數學歸納法證明：當c>2時，an

①當n=1時，a2=c-1a1>a1，命題成立；

②設當n=k時，akc-1ak=ak+1.

故由①②知，當c>2時，an

2010年的江蘇高考卷中，依舊利用數歸考查有關整數n的命題，然而打破了以往考查函數不等式或數列綜合知識的單一局面，出現三角函數和有理數相結合的新題型.筆者認為，數學歸納法在高考內容中將迎來全新的局面，這將是2011年高考的新趨勢.

例3 （2010年江蘇23）已知△ABC的三邊長都是有理數.

（1）求證：cosA是有理數；

（2）求證：對任意正整數n，cosnA是有理數.

證明 （2）用數學歸納法證明cosnA和sinA#8226;sinnA都是有理數.

①當n=1時，由（1）知，cosA是有理數，從而有sinA#8226;sinA=1-cos2A也是有理數.

②假設當n=k(k≥1)時，coskA和sinA#8226;sinkA都是有理數.

當n=k+1時，由cos(k+1)A=cosA#8226;coskA-sinA#8226;sinkA，

sinA#8226;sin(k+1)A=sinA#8226;(sinA#8226;coskA+cosA#8226;sinkA)

=(sinA#8226;sinA)#8226;coskA+

(sinA#8226;sinkA)#8226;cosA，

由①和歸納假設，知cos(k+1)A與sinA#8226;sin(k+1)A都是有理數.

即當n=k+1時，結論成立.

綜合①②可知，對任意正整數n，cosnA是有理數.

分析一下上面的題目，出現有理數這樣在考場上比較陌生的內容，遇到這樣的題目，心中不禁一慌.但認真閱讀完此題后，（1）其實不難，要完成第（2）題似乎有點難度，但一般的大題中，第（2）問通常要用到第（1）問的結論.第（2）題涉及正整數n，而第（1）問已經有了n=1結論成立的結果，這樣不禁想到數歸，突破此題的方法便找到了.

數學歸納法是高考熱點之一，常常在大題上考查，不少壓軸題也會用到數歸.考生平時練習中常常會體會到數歸方法之妙.看到關于正整數的題目，而當前又沒有想到合適的思路，不妨試一下數學歸納法.

【參考文獻】

［1］楊子廷，區燕玲.“四思”而后行——數學歸納法錯例分析.數學學習與研究，2011(3).

［2］鄭文龍.高考中應用數學歸納法的四種重點題型剖析.數學通訊，2010(7).