數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

【摘要】對于數(shù)學(xué)來說，數(shù)學(xué)思想是它的靈魂，數(shù)學(xué)方法則是它的行為.本文章主要對高中數(shù)學(xué)教學(xué)中一些常用到的數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行深入地分析.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想；高中；數(shù)學(xué)教學(xué)

一、函數(shù)思想

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，函數(shù)思想就是指通過函數(shù)的定義和性質(zhì)來轉(zhuǎn)化和分析問題，最終解決問題.一般情況下，解函數(shù)題型時，是借用函數(shù)思想所構(gòu)造的函數(shù)進(jìn)而使用其性質(zhì)去解題的.所用到的函數(shù)性質(zhì)有：f(x)和f′(x)的單調(diào)性、周期性、圖像變換和其奇偶性以及最大值和最小值等.對學(xué)生們的要求就是熟練使用一次函數(shù)、二次函數(shù)和三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的具體特性.如果熟練地掌握了這些函數(shù)的特性，在解題時，就方便挖掘題目中一些隱含的條件.而應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵主要是構(gòu)造其函數(shù)的解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì).當(dāng)全面而又深入地對所給的問題進(jìn)行觀察和判斷時，對構(gòu)造出的函數(shù)題型才能容易產(chǎn)生由此至彼的聯(lián)系.

例1 已知a，b，c都是正數(shù)，且abc=8，求證：

a+b+c3+3a+b+c≥52.

分析 注意到不等式左邊是互為倒數(shù)的兩個式子之和，引入函數(shù)f（x）=x+1x，易知f（x）在［1，+∞）是增函數(shù).

又 a，b，c∈R+，

∴a+b+c3≥3abc=2，∴fa+b+c3≥f(2)=52.

這正是所要證的不等式.

二、分類討論

在解答一些數(shù)學(xué)問題時，經(jīng)常會遇到一個問題可以用多種方法進(jìn)行解答的題型，這時，就需要根據(jù)每種情況進(jìn)行分類分析，并根據(jù)每類分析最終得到題解.這就是數(shù)學(xué)思想中的分類討論.在數(shù)學(xué)思想中，分類討論是一種邏輯方法，在數(shù)學(xué)思想中是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也可以說它也是一種很重要而又容易解題的方法.從這種解題方法中，老師和學(xué)生都可以看出分類討論這種方法能體現(xiàn)化整為零和積零為整的思想和歸類整理.一些分類討論思想的數(shù)學(xué)問題，在邏輯性和探索性以及綜合性方面表現(xiàn)得很突出，這些可以訓(xùn)練學(xué)生思維上的條理性和概括性，這對于他們在高考中進(jìn)行發(fā)揮時有很重要的作用.一般情況下，在進(jìn)行分類討論時，要遵循以下幾個原則：要先確定分類對象，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，同時不能重復(fù)也不能遺漏，再進(jìn)行明確的劃分，并主次分明.這些原則中，最主要的就是不能重復(fù)也不能遺漏.如果出現(xiàn)這種情況，所得到的結(jié)果一定不正確.而在解答分類討論的問題時，要掌握基本的方法和步驟：第一，討論的對象要確定，所討論的對象所涉及的范圍也要考慮得周全；第二，分類標(biāo)準(zhǔn)要確定，并進(jìn)行合理的分類，分級進(jìn)行，最終可以得到階段性的解答；第三，對所得到的小結(jié)進(jìn)行歸納，并綜合得出結(jié)論.對分類討論的步驟簡單總結(jié)就是：1.確定標(biāo)準(zhǔn)；2.合理分類；3.逐類討論；4.歸納總結(jié).

例2 設(shè)函數(shù)f（x）＝ax2－2x＋2，對于滿足1

分析 含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、最小值等值域問題，需要先對開口方向討論，再對其拋物線對稱軸的位置與閉區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，最后綜合得解.

解 由圖1可知：當(dāng)a>0時，

f（x）＝ax-1a2＋2－1a.

∴1a≤1，f（1）=a-2+2≥0或

1<1a<4，f1a=2-1a>0或

1a≥4，f(4)=16a-82≥0.

∴a≥1或12

當(dāng)a<0時，f（1）=a-2+2≥0，f（4）=16a-8+2≥0；

當(dāng)a=0時，f（x）=-2x+2，f（1）=0，f（4）=-6，

∴不合題意.

由上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>12.

三、在解題的教學(xué)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法

對數(shù)學(xué)進(jìn)行各種方法進(jìn)行解答的教學(xué)方式，不僅可以幫助學(xué)生掌握和運(yùn)用一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，同時，也讓學(xué)生們從解題中領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的思想方法.在學(xué)生的習(xí)題當(dāng)中，每類解題方法的典型例題有很多，通過練習(xí)這些習(xí)題，可以挖掘?qū)W生們解題的思想過程以及解題方法，當(dāng)對一些題型很感興趣或者掌握得很不錯時，他們就會自己綜合一些題型來歸納總結(jié)，這些總結(jié)在他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中有很大的幫助.所以，老師在進(jìn)行傳授解數(shù)學(xué)題時，要運(yùn)用多種數(shù)學(xué)方法來解題，這樣可能幫助學(xué)生在自己解題的過程中，發(fā)現(xiàn)每種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)運(yùn)算間的關(guān)系，并建立和運(yùn)用它們間的聯(lián)系點(diǎn)和變化以及轉(zhuǎn)化等，在此基礎(chǔ)上就可以慢慢接受數(shù)學(xué)思想和方法，學(xué)生的思維能力也會漸漸得到提高.

例3 已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證：|ac+bd|≤1.

我們用綜合法、比較法、分析法證明后，還可啟發(fā)學(xué)生積極思維，得出三角證法：設(shè)b=sinα，a=cosα，c=cosβ，d=sinβ，則|ac+bd|=|cosαcosβ+sinαsinβ|=|cos(a-β)|≤1.

另還可得出幾何證法：如圖2，畫直徑為AB=1的圓，作圓內(nèi)接四邊形ABCD，設(shè)AC=|a|，BC=|b|，BD=|c|，DA=|d|，a，b，c，d為實(shí)數(shù)，則a2+b2=1，c2+d2=1，由托勒密（Ptolemy）定理，得到|ac+bd|≤||a|#8226;|c|+|b|#8226;|d||=|AB×CD|=|CD|≤1.

學(xué)生只有掌握了解題的方法，才會形成解題的思想，才能最終受益終生.有一位國外有名的數(shù)學(xué)家和教育家曾這樣認(rèn)為：數(shù)學(xué)知識對于從事科學(xué)的人員來說是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不足的，但這些工作人員必須具備數(shù)學(xué)思想和方法以及精神卻是十分必要的；數(shù)學(xué)精神和思想以及方法在科學(xué)工作中永遠(yuǎn)都發(fā)揮著不可替代的作用.

【參考文獻(xiàn)】

徐廣華.數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)，2008（2）.