用導(dǎo)數(shù)來證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn).其主要思想是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何構(gòu)造輔助函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式的關(guān)鍵.下舉例分析，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考.

一、不等式中只含一個(gè)字母（不妨設(shè)為x）

類型1 直接作差構(gòu)造函數(shù)，通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來得出函數(shù)的單調(diào)性（或函數(shù)的最值）來證明不等式.

例1 當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，證明不等式sinx

證明 令f(x)=sinx-x，則f′(x)=cosx-1.當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，f′(x)<0，∴f(x)在x∈(0，π)時(shí)單調(diào)遞減，故f(x)<0.∴SINX

例2 證明不等式：xlog2x+(1-x)log2(1-x)≥-1.

證明 對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)數(shù)：

f′(x)=(xlog2x)′+［(1-x)log2(1-x)］′

=log2x-log2(1-x)+1ln2-1ln2

=log2x-log2(1-x).

于是f′12=0.當(dāng)x<12時(shí)，f′(x)=log2x-log2(1-x)<0，f(x)在區(qū)間0，12是減函數(shù)；

當(dāng)x>12時(shí)，f′(x)=log2x-log2(1-x)>0，f(x)在區(qū)間12，1是增函數(shù).

∴f(x)在x=12時(shí)取得最小值，f12=-1.

點(diǎn)評(píng) 若f(x)，g(x)差函數(shù)為非單調(diào)，其差有極大值或極小值，用導(dǎo)函數(shù)求其極大值、極小值，從而證明不等式.

類型2 換元后作差構(gòu)造函數(shù)證明.

例3 若x∈(0，+∞)，求證：1x+1

證明 令1+1x=t，x>0，∴t>1，x=1t-1.

則原不等式1-1t

令f(t)=t-1-lnt，∴f′(t)>1-1t.

∵t∈(1，+∞)，∴f′(t)>0，∴f(t)在t∈(1，+∞)上為增函數(shù).

∴f(t)>f(1)=0，∴t-1>lnt.

令g(t)=lnt-1+1t，∴g′(t)=1t-1t2=t-1t2.

∵t∈(1，+∞)，∴g′(t)>0，∴g(t)在t∈(1，+∞)上為增函數(shù).

∴g(t)>g(1)=0，∴l(xiāng)nt>1-1t，∴1x+1

點(diǎn)評(píng) 代換作用：此題設(shè)參數(shù)t=1+1x，0

二、不等式中含有多個(gè)字母

類型1 端點(diǎn)變量法.

例4 已知函數(shù)g(x)=xlnx，設(shè)0

分析與證明 本題是在一個(gè)區(qū)間上證明不等式，而不等式涉及的變量就是區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，因此設(shè)輔助函數(shù)時(shí)把其中的一個(gè)端點(diǎn)設(shè)為自變量.設(shè)F(x)=g(a)+g(x)-2ga+x2(aF(a)=0，即0

當(dāng)x>0時(shí)，G′(x)<0，即當(dāng)x>0時(shí)，G(x)是減函數(shù)，g(b)<(B-A)LN2.

點(diǎn)評(píng) 一般地利用輔助函數(shù)證明不等式時(shí)，直接將不等式的兩端移項(xiàng)到一側(cè)求導(dǎo)就可以了.但本題中的不等式涉及區(qū)間的端點(diǎn)，因此就涉及選擇自變量的問題，本題就是把其中的一個(gè)端點(diǎn)設(shè)為自變量.

類型2 用分離變量的思想構(gòu)造函數(shù).

例5 若α>β>e，證明：βα>αβ.

證明 原題等價(jià)于lnαα

設(shè)f(x)=lnxx，當(dāng)x>e時(shí)，f′(x)=1-lnxx2<0，

∴當(dāng)x>e時(shí)，f(x)單調(diào)遞減.

∵α>β>e，∴l(xiāng)nαlnβαβ.

類型3 從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)

例6 若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf′(x)>-f(x)恒成立，常數(shù)a，b滿足a>b，求證：af(a)>bf(b).

證明 從結(jié)論考慮能想到應(yīng)證明xf(x)為增函數(shù).而(xf(x))′=xf′(x)+f(x)>0，從而xf(x)為增函數(shù).又a>b，故af(a)>bf(b).