數(shù)學(xué)題“隱含條件”的創(chuàng)設(shè)的幾點(diǎn)建議

【摘要】在數(shù)學(xué)教學(xué)中，設(shè)制隱含條件的目的就是加深題目的難度，從而能很好地考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度以及考查學(xué)生的觀察能力和分析能力.因此，研究隱含條件的設(shè)制，很有必要.

【關(guān)鍵詞】特定條件；特定圖形；易推條件

“條件”是實(shí)現(xiàn)某個(gè)目的的保證，在不同的條件下，其結(jié)果是不盡相同的.我們知道，每道數(shù)學(xué)命題都可以分為“條件”和“結(jié)論”兩部分（即題設(shè)和題斷兩部分）.條件是命題中的已知事項(xiàng)；結(jié)論是從命題所提出的條件經(jīng)過(guò)推理而得到的事項(xiàng).多數(shù)命題的條件和結(jié)論是較明確的，如假言命題用聯(lián)結(jié)詞“如果……，那么……”或“若……，則……”；也有的直接告知，已知什么，求證（求）什么.但是，有些命題如簡(jiǎn)單命題、聯(lián)言命題和選言命題，就不明確地點(diǎn)明已知條件是什么，它的條件是含而不露的.如有些文字?jǐn)⑹龅膽?yīng)用題、無(wú)任何條件下的化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明題，甚至有的在明確的條件下隱去一二個(gè)條件.這種隱蔽在題設(shè)中的已知條件我們稱(chēng)它為“隱含條件”.隱含條件必須是真實(shí)和必要的，同時(shí)又是可掘的，否則這樣的命題將是不嚴(yán)密或是不真的.設(shè)制隱含條件的目的就是加深題目的難度，從而考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度以及考查學(xué)生的觀察能力和分析能力.有些題解法是否正確，往往就在于你能否發(fā)掘和利用其隱含條件.因此，發(fā)掘和利用好隱含條件是解題中的一重要問(wèn)題.要解決好這個(gè)問(wèn)題，除了認(rèn)真審題外，還必須掌握一般隱含條件的設(shè)制，即在什么情況下其已知條件可隱而不露.本文旨在對(duì)這個(gè)問(wèn)題談點(diǎn)淺見(jiàn)，以供參考.

“隱含條件”一般可以從以下幾種情況設(shè)制：

一、常用的性質(zhì)、定義中的特定條件可隱

如果字母表示數(shù)的，二次函數(shù)或二次方程中的二次項(xiàng)的系數(shù)，對(duì)數(shù)中的底數(shù)及真數(shù)的限制條件可隱.

例1 k為何值時(shí)，二次函數(shù)y=k2x2+2(k-1)x+1的圖像與x軸有兩交點(diǎn).

此題的隱含條件就是k2≠0.但是，學(xué)生往往僅因用Δ＞0解之而錯(cuò).

例2 m為何值時(shí)，x的任何實(shí)數(shù)值都滿(mǎn)足不等式（m＋1）x2－2(m-1)x+3(m－１)＞０？

本題學(xué)生若僅注意到ax2+bx+c>0，只需Δ＜０解之，其結(jié)果必錯(cuò)，因?yàn)楹鲆暳怂碾[含條件是m+1>0.（二次不等式ax2+bx+c>0對(duì)x的任何實(shí)數(shù)值都成立的條件是a>0且Δ＜０）

二、基本初等函數(shù)的定義域、三角函數(shù)的值域可隱

例3 求y=sinx4sin2x+9的最大值和最小值（x∈［0，2π］）.

錯(cuò)解 函數(shù)變形得：4ysin2x－sinx+9y=0，由Δκ≥0，即1-144y2≥0，∴-112≤y≤112.則y=sinx4sin2x+9的最小值為-112，最大值為112.

上述解法顯然是錯(cuò)誤的，因?yàn)閥=±112時(shí)，sinx＝±32，這是不可能的.其原因是忽視了題中的隱含條件sinx∈［-1，1］.

正解 由y=sinx4sin2x+9，得4ysin2x－sinx+9y=0.

解得sinx＝1±1-144y28y.

∵sinx∈R，又∣sinx∣≤1，

∴1-144y2≥0，

-1≤1+1-144y28y≤1或1-144y2≥0，

-1≤1-1-144y28y≤1.

解得-113≤y≤113.

∴y的最小值為-113，最大值為113.

三、幾何中，一些特定圖形的限制條件可隱

例4 在第一象限內(nèi)等腰直角三角形ABC，C點(diǎn)固定在（4，4），A，B分別在x，y軸上移動(dòng)，求△ABC面積的最大值.

這道題我們會(huì)很自然地建立邊或角的函數(shù)關(guān)系式，從而求其最值.如圖所示.

(1)S△ABC=12|AC|2

=12［(4-x)2+42］.

∴當(dāng)x＝４時(shí)，S最小值＝８，而最大值不存在.

(2)S△ABC=12|AC|2=162sin2α.

∴當(dāng)sinα=1時(shí)，S最小值＝８，而最大值不存在.

以上兩種解法，就所列函數(shù)式而言并無(wú)錯(cuò)誤，但都沒(méi)有考慮到自變量的取值區(qū)間，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤.原因在于忽視圖像限制，也就是不注意目標(biāo)函數(shù)的定義域這一隱含條件.由于等腰直角三角形必須在第一象限，所以０≤x≤８或14π≤α≤34π，在這兩種情況下△ABC的面積都能取得最大值是16平方單位.

四、在已知條件下的易推條件可隱

例5 已知sinα=55，sinβ=1010，且α，β均為銳角，求α+β.

本題的易推條件是，因?yàn)棣粒戮鶠殇J角，α，β的正弦值均為小于22的正數(shù).由此， α，β均為小于14π的銳角，題目就將這一條件隱去了.如不注意到這隱含條件，則由０＜α＜12π，０＜β＜12π，得０＜α+β＜π.再由sin(α+β)=sinα，cosβ+cosα，sinβ＝55×31010+255×1010＝22，從而得出α+β＝14π或α+β＝3π4兩解，于是，又產(chǎn)生了差錯(cuò).

隱含條件的設(shè)制本文只羅列了四種常見(jiàn)情況，每種情況列舉了一些例題，而每個(gè)例題又著重于對(duì)隱含條件的發(fā)掘，同時(shí)使我們看到這些隱含條件的發(fā)掘在解題中的重要性，但能否看出隱含的條件需要有一定的觀察力，同時(shí)又必須具備牢固的基礎(chǔ)知識(shí)和熟練的基本技能，而且在解題過(guò)程中又要忌麻痹大意.總之，若能仔細(xì)分析，勤于聯(lián)想，又能融會(huì)貫通，就能提高發(fā)掘隱含條件的能力.