數學題“隱含條件”的創設的幾點建議

【摘要】在數學教學中，設制隱含條件的目的就是加深題目的難度，從而能很好地考查學生對基礎知識的掌握程度以及考查學生的觀察能力和分析能力.因此，研究隱含條件的設制，很有必要.

【關鍵詞】特定條件；特定圖形；易推條件

“條件”是實現某個目的的保證，在不同的條件下，其結果是不盡相同的.我們知道，每道數學命題都可以分為“條件”和“結論”兩部分（即題設和題斷兩部分）.條件是命題中的已知事項；結論是從命題所提出的條件經過推理而得到的事項.多數命題的條件和結論是較明確的，如假言命題用聯結詞“如果……，那么……”或“若……，則……”；也有的直接告知，已知什么，求證（求）什么.但是，有些命題如簡單命題、聯言命題和選言命題，就不明確地點明已知條件是什么，它的條件是含而不露的.如有些文字敘述的應用題、無任何條件下的化簡、計算、證明題，甚至有的在明確的條件下隱去一二個條件.這種隱蔽在題設中的已知條件我們稱它為“隱含條件”.隱含條件必須是真實和必要的，同時又是可掘的，否則這樣的命題將是不嚴密或是不真的.設制隱含條件的目的就是加深題目的難度，從而考查學生對基礎知識的掌握程度以及考查學生的觀察能力和分析能力.有些題解法是否正確，往往就在于你能否發掘和利用其隱含條件.因此，發掘和利用好隱含條件是解題中的一重要問題.要解決好這個問題，除了認真審題外，還必須掌握一般隱含條件的設制，即在什么情況下其已知條件可隱而不露.本文旨在對這個問題談點淺見，以供參考.

“隱含條件”一般可以從以下幾種情況設制：

一、常用的性質、定義中的特定條件可隱

如果字母表示數的，二次函數或二次方程中的二次項的系數，對數中的底數及真數的限制條件可隱.

例1 k為何值時，二次函數y=k2x2+2(k-1)x+1的圖像與x軸有兩交點.

此題的隱含條件就是k2≠0.但是，學生往往僅因用Δ＞0解之而錯.

例2 m為何值時，x的任何實數值都滿足不等式（m＋1）x2－2(m-1)x+3(m－１)＞０？

本題學生若僅注意到ax2+bx+c>0，只需Δ＜０解之，其結果必錯，因為忽視了它的隱含條件是m+1>0.（二次不等式ax2+bx+c>0對x的任何實數值都成立的條件是a>0且Δ＜０）

二、基本初等函數的定義域、三角函數的值域可隱

例3 求y=sinx4sin2x+9的最大值和最小值（x∈［0，2π］）.

錯解 函數變形得：4ysin2x－sinx+9y=0，由Δκ≥0，即1-144y2≥0，∴-112≤y≤112.則y=sinx4sin2x+9的最小值為-112，最大值為112.

上述解法顯然是錯誤的，因為y=±112時，sinx＝±32，這是不可能的.其原因是忽視了題中的隱含條件sinx∈［-1，1］.

正解 由y=sinx4sin2x+9，得4ysin2x－sinx+9y=0.

解得sinx＝1±1-144y28y.

∵sinx∈R，又∣sinx∣≤1，

∴1-144y2≥0，

-1≤1+1-144y28y≤1或1-144y2≥0，

-1≤1-1-144y28y≤1.

解得-113≤y≤113.

∴y的最小值為-113，最大值為113.

三、幾何中，一些特定圖形的限制條件可隱

例4 在第一象限內等腰直角三角形ABC，C點固定在（4，4），A，B分別在x，y軸上移動，求△ABC面積的最大值.

這道題我們會很自然地建立邊或角的函數關系式，從而求其最值.如圖所示.

(1)S△ABC=12|AC|2

=12［(4-x)2+42］.

∴當x＝４時，S最小值＝８，而最大值不存在.

(2)S△ABC=12|AC|2=162sin2α.

∴當sinα=1時，S最小值＝８，而最大值不存在.

以上兩種解法，就所列函數式而言并無錯誤，但都沒有考慮到自變量的取值區間，導致結論錯誤.原因在于忽視圖像限制，也就是不注意目標函數的定義域這一隱含條件.由于等腰直角三角形必須在第一象限，所以０≤x≤８或14π≤α≤34π，在這兩種情況下△ABC的面積都能取得最大值是16平方單位.

四、在已知條件下的易推條件可隱

例5 已知sinα=55，sinβ=1010，且α，β均為銳角，求α+β.

本題的易推條件是，因為α，β均為銳角，α，β的正弦值均為小于22的正數.由此， α，β均為小于14π的銳角，題目就將這一條件隱去了.如不注意到這隱含條件，則由０＜α＜12π，０＜β＜12π，得０＜α+β＜π.再由sin(α+β)=sinα，cosβ+cosα，sinβ＝55×31010+255×1010＝22，從而得出α+β＝14π或α+β＝3π4兩解，于是，又產生了差錯.

隱含條件的設制本文只羅列了四種常見情況，每種情況列舉了一些例題，而每個例題又著重于對隱含條件的發掘，同時使我們看到這些隱含條件的發掘在解題中的重要性，但能否看出隱含的條件需要有一定的觀察力，同時又必須具備牢固的基礎知識和熟練的基本技能，而且在解題過程中又要忌麻痹大意.總之，若能仔細分析，勤于聯想，又能融會貫通，就能提高發掘隱含條件的能力.