用“數字化虛擬人”形象引入定積分的概念

1991年，世界第一例數字化虛擬人在美國誕生了.這一數字化可視人體的數據集的建立，標志著人類在醫學、生物學、仿生學等方面的基礎研究和應用上取得了重大突破.數字化可視人的問世，也無疑有著重要的理論意義和廣闊的臨床運用前景.

目前，我國成為繼美國和韓國后，第三個擁有本國虛擬人數據集的國家.最精細的是“數字人男一號”，擁有9200個平面切片，照片分辨率達到2200萬像素.其處理生成的過程大致如下：

第一步：類似“建系”

肌體無任何病變的健康男性，在死后2小時內，對其尸體進行全面的消毒處理，肢體平放，并將全身涂上明膠固定后置于特制的盒子里，放在-70℃的環境中完全冷凍.

第二步：精密切割

在-20℃的低溫環境中，將該男性的尸體用數控銑床從頭到腳切成約0.1毫米的薄片，共有18000多片.每切一片，便隨即作相應的清潔處理.經數碼相機拍攝后，全部的信息都以數據的形式存儲于計算機中.當然，切片越多，片層精度就越高，人體數據就越詳細.

第三步：近似整合

對有限的、連續的橫斷面圖像數據信息進行整合，再通過“模擬延展”等一系列必要的、相關的技術和醫術處理，便最終形成了透視的、“活生生”的數字化可視人.其原理是通過先進的信息技術與生物技術相結合的方式，在計算機上操作可視的模型，包括人體的各器官和細胞等，最終建成生物網絡化的流程，即：從具有幾何圖形和視覺效果的“可視人”，到附有物理化學信息真切實感的“物理人”，再到附加人體各種信息隨心所欲的“生物人”.

這種利用有限分割、近似整和的極限思想在數學史上早有體現.我國莊子（公元前355-275）《天下篇》中說，“一尺之椎，日取其半，萬世不竭”，就具有極限的思想.公元263年，劉徽為《九章算術》作注時提出“割圓術”，用正多邊形逼近圓周.他說“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”.這是極限論思想的成功運用.

設圓半徑為R，周長為C，正n邊形的邊長為a，那么每個邊對應的圓心角為θ=2πn，則C=n2R#8226;sinπn，取極限，也即讓n趨向正無窮大，過程如下：

limn→∞n2Rsinπn=2nRπnlimn→∞sinπnπn=2πRlimπn→0sinπnπn=2πR.

最終結果只需利用極限公式limx→0sinxx=1求得.

此類研究處理問題的方法，經過物理學家阿基米德、法國數學家巴斯卡和費馬、英國的瓦里士和巴羅及萊布尼茲和牛頓的推動下，發展到17世紀，就誕生了另一重要的數學工具——定積分.

下面以求曲邊梯形的面積為例（參見教材特例），介紹“分割、近似求和、取極限”的方法.

（1）分割

將研究區間［a，b］等分為n個小區間，則第i個區間為i-1n，in，它的長度為Δx=b-an，區間左端點對應的函數值為fi-1n.（這里，很多學生可能會有疑惑，第i個區間到底是什么？）

（2）近似求和

“以直代曲”，用第i個區間對應的小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，即ΔSi≈fi-1n#8226;Δx.

則總面積的近似值為Sn=∑ni=1fi-1n#8226;Δx.

（3）取極限

當n趨向于無窮大時，即Δx=1n趨向于0時，Sn就會趨向于曲邊梯形的面積S，即S=limn→∞Sn.

這一方法還可以求變速直線運動中物體的位移、變力所做的功及球的體積和表面積等.盡管很多問題的具體背景不相同，但都歸結為“分割﹑近似求和﹑取極限”的思想方法，即求∑ni=1fi-1n#8226;Δx的極限問題，這就是產生定積分概念的基礎.

如果函數f(x)在區間［a，b］上連續，用分點a=x0

∑ni=1f(ξi)#8226;Δx=∑ni=1b-anf(ξi)，

則∫baf(x)dx=limn→∞∑ni=1b-anf(ξi)叫做函數f(x)在區間［a，b］上的定積分.

【參考文獻】

［1］數學分析.高等教育出版社，1997.

［2］真正描述大自然的幾何學.科學世界，2003（4）.