一題多變說“反比例函數”中的定值

函數是數學建模、刻畫變量與常量的有效手段.對函數內容的學習是初中數學學習的重點和難點，中考常常考查函數中動點帶定值的問題，有些問題可以由一個條件變化得到.

一題多解和一題多變是數學的靈活美、智慧美的很好體現.我在初中數學教學工作中深深地為之嘆服，現舉一例以見其美.

1.已知如圖1，動點P在反比例函數y=12x(x>0)的圖像上運動，PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于N，線段PM，PN分別與直線AB：y=-x+1交于點E，F，則AF#8226;BE的值是

仔細讀題，我們就會發現，點P是反比例函數y=12x(x>0)上的一個動點，而最后求的卻是AF#8226;BE的值，是動點帶定值題型的典型.如果是填空題或選擇題這類客觀題，我們可以用賦值法，通過取特殊值快速而簡捷地得到.

作FH⊥OA于H，EG⊥OB于G.

∵點P是反比例函數y=12x(x>0)圖像上的一個動點，

∴可以取P1，12.

則PM＝12＝FH，PN＝1=EG.

由直線AB：y=-x+1可以得到∠OAB=∠OBA=45°，

∴AF＝2FH=2PM=22，BE=2EG=2PN=2.

∴AF#8226;BE＝22×2=1.

若是解答題，不妨用構造法，同上作輔助線(如圖2)，設P(a，b)，則有PM＝b＝FH，PN＝a=EG，AF＝2FH=2PM=2b，BE=2EG=2PN=2a.

∴AF#8226;BE＝2b×2a=2ab.

∵點P(a，b)在反比例函數y=12x(x>0)圖像上，

∴ab=12，∴AF#8226;BE＝2ab＝1.

這種解法更具有一般性.

同樣是這個題目，我們也可以一題多變，體現數學的轉化思想、函數的建模思想，真正看到數學的變化美.

2.不改變上題的條件，如圖3，當點P在雙曲線y=12x(x>0)上運動時，矩形OMPN的面積是否發生變化？如果變化，說明理由；如果不變，求出它的面積.

∵點P(a，b)在反比例函數y=12x(x>0)圖像上，

∴矩形OMPN的面積等于PM×PN＝ab=12，保持不變.

3.不改變上題的條件，如圖4，連接OE，OF，猜想：P點在運動時，∠EOF的大小是否發生變化？如果變化，說明理由；如果不變，求出∠EOF的度數.

本題不僅能帶來線段乘積的定值、面積的定值，也能帶來角度的定值.很容易猜想∠EOF＝45°.

直線AB：y=-x+1交x軸于點A，交y軸于點B，可以得到OA=OB=1，

∴OA#8226;OB=AF#8226;BE=1.

又 ∠OAB=∠OBA=45°，

∴可證明△AFO∽△BOE，得到∠AFO=∠BOE.

又 ∠AFO=∠ABO+∠BOF，∠BOE=∠EOF+∠BOF，

∴有∠ABO+∠BOF=∠EOF+∠BOF，

∴∠ABO=∠EOF=45°，即∠EOF也為定值.