用建模的方法解一類數學競賽題

【摘要】筆者認為，改變當前中學的應試教育，讓學生適當地參與到數學競賽中來，通過認識一定的競賽題，開拓自己的思路，提高學生的綜合素質，是非常有必要的舉措.許多競賽題，初看時不知它屬于哪一個數學分支，有一種云里霧里的感覺，學生在解答題目時，無從下手.其實，競賽題中用到的數學知識非常簡單，筆者試圖通過對一類競賽題建立數學模型，拋磚引玉，讓學生們能舉一反三、游刃有余地解決更多的競賽題.

【關鍵詞】數學競賽；數學模型；問題解決

在中學教育中加入數學競賽的教育，有著現(xiàn)實意義和深遠的歷史意義.眾所周知，數學最引人注目的特點是思維的抽象性、推理的嚴謹性和應用的廣泛性.這是在數學發(fā)展的漫長的歷程中逐漸形成的.對其中有關的空間結構、數量關系的共性不斷地抽象、升華而形成當今的數學.數學的廣泛應用性則為各門學科以及人們的生產、生活和社會活動在定量方面向深層次發(fā)展奠定了基礎.數學模型是應用數學知識和計算機解決實際問題的一種有效的重要工具.

數學提供給人類的不僅僅是現(xiàn)成的知識和工具，更重要的是提供給人類的思想和方法.在數學方法中，從宏觀層面上看，具有典型數學特征、影響和作用最大的是公理化方法和數學模型方法以及隨機思想方法.“數學模型方法”(Mathematical Model Method)簡稱MM方法，它不僅是處理數學理論問題的一種經典方法，而且是處理科技領域中各種實際問題的一般數學方法.數學模型方法是根據研究的目的，采用數學形式化語言將研究的某種事物系統(tǒng)的特征和數量關系抽象成數學模型，通過對數學模型的研究，使實際問題得以解決的一種數學方法.

數學競賽的測試點與義務教育不同，它不是考學生的數學知識的系統(tǒng)性，而是考學生的能力，考靈活性與創(chuàng)造性，這是由數學競賽的要求決定的.筆者認為，改變當前中學的應試教育，讓學生適當地參與到數學競賽中來，通過認識一定的競賽題，可以開拓學生的思路，提高學生的綜合素質.許多競賽題初看時不知它屬于哪一個數學分支，題型從未見過，其實它用到的數學知識卻非常簡單，基本上都學過，有些題甚至只用到小學的算術，有些題目可以是將中學數學知識綜合在一起，表現(xiàn)出較深的思維和巧妙的特點.

數學來源于人們生產和生活的需要.相當的一部分競賽題目源自實際生活，看不出有多少數學味道，更談不上屬于哪個分支，需要什么知識.這些題目首先要由學生自己去建立數學模型再加以解決.其中一些問題是本來實際生活中就經常出現(xiàn)的，另一些卻是先有數學問題，再把它變成一個實際問題，這樣做，除了增加競賽的趣味性之外，更重要的是要考學生數學聯(lián)系實際的能力.一個實際問題可以建立不同的數學模型，這些不同的數學模型可以有相同的思路，也可以是思路各不相同，但一般說來，一旦建立了模型，思路就幾乎出來了.即使是一個純數學問題，也可以有不同的數學模型.我們常說的一題多解實際也有這種意思.對數學競賽而言，意思更廣.

建立數學模型，就是把問題的條件（或已知數據）和結論（或未知量）用數學語言表示，這就是“翻譯”工作，不同的數學模型有不同的數學語言.這樣就把一個實際問題變成一個等價的數學問題.但要認識到數學模型不是對現(xiàn)實系統(tǒng)的簡單的模擬，有的問題經過這樣的翻譯就變成熟知的基本數學問題，從而問題更易解決.數學競賽的部分考題中就是考查學生這種翻譯能力.假如學生能熟知和建立各種形式的數學模型，那么思路必然就開闊得多.

請看下面三個題目，它們表面差別很大，卻是出于同一個數學模型.

例1 任意剪六個圓形紙片放在桌上，使得沒有一個紙片的中心落在另一紙片上，或被另一紙片蓋住.然后用一枚針扎這些紙片.說明：不論針尖落在哪一點，總是不能一次把六個紙片全部扎中.

這個題目又被改編為：

例2 從100個城市（有的寫成n個城市，n>5）同時各起飛一架飛機，飛往離本市最近的城市降落.證明：在任一個城市中降落的飛機都不超過6架.

后來又改編為純數學題：

例3 令n為大于5的整數，n個共面的點中，每兩個的距離均不相等.將每個點與和它的距離最近的點用線段相連.證明：沒有一個點與多于5個點相連.

這三個問題只用到這樣的幾何知識：三角形三內角之和為180°及大邊對大角.只要會證一個題，其他兩題即迎刃而解.以例1為例，證明如下：

用反證法，設針尖落在點P上，而P落在六個圓之內，六個圓的圓心分別為O1，O2，…，O6，為方便，設它們的排號是PO1，PO2，…，PO6，按順時針方向排列.因P點在圓⊙O1，⊙O2內，故O1O2>PO1，O1O2>PO2.否則，O1，O2必有一點在另一點所在圓的內部.根據三角形三內角的性質知∠O1PO2>60°，同理∠O2PO3，…，∠O6PO1也大于60°，這是不可能的，可知反證法假設不成立，問題得證.

善于和發(fā)現(xiàn)數學競賽中各類題目的共性，是為它們建立數學模型的基礎，在這方面教師有義務對學生做出引導，讓學生在循序漸進的過程中享受數學帶來的樂趣，為可持續(xù)發(fā)展奠定基礎.