淺析數(shù)學(xué)思想方法與含參不等式的最優(yōu)解答

高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容主要有基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法這兩個(gè)方面，新教材在關(guān)于不等式的解法及證明內(nèi)容設(shè)置上較分散，螺旋上升，循序漸進(jìn).解含參數(shù)不等式因其涉及知識廣泛、綜合性強(qiáng)、方法選擇性靈活，因此用來考查分析問題與解決問題的能力，考查學(xué)生數(shù)學(xué)思想的掌握情況，含參不等式的相關(guān)問題成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)與高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，同時(shí)也成為高考命題的熱點(diǎn).本文結(jié)合實(shí)例探討以數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)的含參不等式的最優(yōu)解答方案.

一、分類討論的思想方法

例1 解關(guān)于x的不等式：a(x-1)x-2>1(a∈R).

分析 該不等式的基本類型為分式不等式，應(yīng)通過移項(xiàng)→通分→調(diào)整系數(shù)→數(shù)軸標(biāo)根等步驟完成，但在調(diào)整系數(shù)及數(shù)軸標(biāo)根時(shí)，涉及對參數(shù)a的分類討論，因此，合理的分類標(biāo)準(zhǔn)成為解答這類型含參數(shù)基本不等式的關(guān)鍵.

解 （1）當(dāng)a≠1時(shí)，原不等式(a-1)x-a-2a-1x-2>0.

①當(dāng)0

②當(dāng)a>1時(shí)，解為x2；

③當(dāng)a<0時(shí)，解為a-2a-1

④當(dāng)a=0時(shí)，無解.

（2）當(dāng)a＝1時(shí)，解為x>2.

在采用分類討論的思想解決問題的過程中，要注意做到分清分類依據(jù)，分類要做到不重不漏.

二、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法

例2 若不等式2x-1>m(x2-1)對滿足|m|≤2的所有實(shí)數(shù)m都成立，求x的取值范圍.

分析 含參不等式問題多個(gè)變元中，先根據(jù)題目條件靈活確定主元，然后考慮參數(shù)的變化對主元的影響往往使問題簡化.本題中確定已知參數(shù)m的取值范圍而求未知數(shù)x的取值范圍，可化歸為以m為主元，x為參數(shù)的不等式求，原不等式可變形為(x2-1)m-(2x-1)<0，當(dāng)|m|≤2時(shí)恒成立.

解 構(gòu)造以m為自變量的函數(shù)f(m)=(x2-1)m-(2x-1)，則原問題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(m)在區(qū)間［－2，2］上的函數(shù)值恒小于零，從而有f(-2)<0，

f(2)<0，即-2(x2-1)-(2x-1)<0，

2(x2-1)-(2x-1)<0，解得-1+72

此題采用轉(zhuǎn)換主元的思想，使本身捉摸不透、無從下手的試題迎刃而解.

三、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想

例3 當(dāng)-1

分析 對于此題的解法，許多學(xué)生都求二次函數(shù)f(x)=x2-2(a+1)x+3-4a在(-1，1)上的最小值，分三種情況進(jìn)行討論，解題過程比較繁雜，而且容易出錯(cuò)，若利用圖形的位置關(guān)系以數(shù)形結(jié)合來解這一道題，則一目了然，非常直觀、簡捷.

解 原式可變形為x2-2x+3>2a(x+2)在-1

作y=x2-2x+3在-1

當(dāng)直線過(1，2)時(shí)，a=13；直線繞著點(diǎn)(-2，0)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)也滿足題設(shè)條件，所以a≤13.

此題借助數(shù)形結(jié)合的直觀性，解決了一道利用分類討論很繁雜的題目.數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學(xué)應(yīng)用中起著舉足輕重的作用，特別對解決填空題和選擇題.圖形的直觀性對于解決探究性問題也能起到啟示作用.

四、構(gòu)造函數(shù)解不等式

例4 解不等式：8(x+1)3+10x+1-x3-5x>0.

分析 本題直接將左邊通分采用解高次不等式的思維來做運(yùn)算較繁.但注意到8(x+1)3+10x+1=2x+13+52x+1且題中出現(xiàn)x3+5x，啟示我們構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3+5x去投石問路.

解 將原不等式化為2x+13+52x+1>x3+5x，令f(x)=x3+5x，則不等式變?yōu)閒2x+1>f(x).∵f(x)=x3+5x在R上為增函數(shù)，∴原不等式等價(jià)于2x+1>x，解得-1

此題利用構(gòu)造函數(shù)的思想，借助函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，使原本很復(fù)雜的高次不等式得到了簡潔明確的解題思路.在近年高考中，利用函數(shù)證明不等式屢見不鮮.在人教版教材選修2-2中，課后習(xí)題就設(shè)置了這樣的習(xí)題，如：①sinx

五、解不等式中的簡易邏輯思想

例5 已知p:1-x-13≤2，q：x2-2x+1-m2≤0(m>0)，

瘙 綈 p是

瘙 綈 q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 本題為不等式與簡易邏輯的綜合試題，命題的表述重心移至充要條件，使用了學(xué)生較為熟悉的語言形式.充要條件是一個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)概念，新教材將這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)放在選修2-1的第一章，從而也可能利用第一章的知識內(nèi)容來命題考查這一概念.本例是一道融絕對值不等式、二次不等式的求解與充要條件的運(yùn)用于一起的較好試題，要求學(xué)生能正確運(yùn)用數(shù)學(xué)符號，規(guī)范數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為，否則連讀題審題都感困難.

解 由1-x-13≤2，得-2≤x≤10.

由x2-2x+1-m2≤0(m>0)，得1-m≤x≤1+m(m>0).

設(shè)A={x|x<-2或x>10}，B={x|x<1-m或x>1+m(m>0)}，

則有AB，故1-m≥-2，

1+m≤10，

m>0，且不等式中的第一、二兩個(gè)不等式不能同時(shí)取等號.

解得0

此題是綜合試題，充分體現(xiàn)了不等式在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，幾乎與每個(gè)章節(jié)的知識都可結(jié)合考查.

總之，數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識和方法本質(zhì)的認(rèn)識，數(shù)學(xué)方法是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的手段和工具.數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，是培養(yǎng)有能力有創(chuàng)造性人才的重要手段，是加強(qiáng)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的著重點(diǎn).在新課程實(shí)施過程中，我們要把數(shù)學(xué)思想方法貫徹滲透到教學(xué)的每節(jié)課中，讓學(xué)生在潛移默化中學(xué)會(huì)理解并應(yīng)用這些思想方法.在新教材中數(shù)學(xué)思想大多數(shù)是以隱蔽的形式存在于字里行間的，它需要通過教師有效地挖掘指點(diǎn)，化隱為顯，學(xué)生才能領(lǐng)悟掌握.