同素理論與哥德巴赫猜想

【摘要】在日常生活中經常和自然數打交道.于是人們對自然數進行了深入的研究，依據不同，可以將它們進行不同的分類——奇數和偶數、質（素）數和合數等，并認識了自然數的整除性，總結了許多規律.

【關鍵詞】哥德巴赫猜想；同素理論；本同素；異同素；素同素

哥德巴赫猜想是1742年德國數學家哥德巴赫在教學中發現：任何一個不小于6的偶數，都可以寫成兩個奇素數之和；任何一個不小于9的奇數，都可以寫成三個奇素數之和.同年6月7日，他在給瑞士數學家歐拉的信中敘述了這一猜想.歐拉在6月30日的回信中肯定了這個猜想的正確性，但他卻沒能給出證明，這就是舉世聞名的哥德巴赫猜想.在以后長達兩百多年的時間里，世界上許多著名的數學家試圖給出一個完美的證明，但均未成功.目前最佳的結果是中國數學家陳景潤于1966年證明的，稱為陳氏定理：“任何充分大的偶數都是一個質數與一個自然數之和，而后者僅僅是兩個質數的乘積.”通常都簡稱這個結果為大偶數可表示為 “1 + 2”的形式.本文將利用數學歸納法和同素理論對哥德巴赫猜想予以證明.

一、同素理論

我們在日常生活中經常和自然數打交道.于是人們對自然數進行了深入的研究，依據不同，可以將它們進行不同的分類——奇數和偶數、質（素）數和合數等，并認識了自然數的整除性，總結了許多規律.下面我們來看自然數的另一特性：

觀察下列算式：

1+2×8=17(素數)，45-2×8=29（素數），

9+2×11=31(素數)，123-2×11=101（素數），

12+（2×6-1）=23(素數)，94-（2×6-1）=83（素數），

……

像這樣，一個自然數a和另一個自然數b，如果有a+2m與b-2m［或a+（2m-1）與b-（2m-1）］同時為素數（m為整數），我們就稱a和b關于m同素，記為M（a，b），m稱為a和b的同素模，a=b時稱為本同素，a≠b時稱為異同素，a，b均為素數時稱為素同素.顯然素同素的同素模為0.

特別規定：M（1，1），M（1，3），M（2，2）沒有意義，即M（1，1），M（1，3），M（2，2）不存在.

另外，在M（a，b）中，M代表一種運算方式，不代表任何具體數.

我們根據同素的定義，容易理解M（a，b）成立時，M（a+2n，b-2n）或M（a-2n，b+2n）也成立.

二、同素定理和哥德巴赫猜想

1.同素定理：對于自然數a如果與另一個同奇（同偶）的自然數b，若M（a，b）成立，則M（a+2，b）也成立.

證明 我們先證a，b同為奇數的情形.

（1）容易驗證：據M（1，5）有M（1+2，5）；據M（1，7）有M（1+2，7）；……；據M（3，5）有M（3+2，5）；……

（2）假設當a=2k-1時，上面定理成立.即所有不大于2k-1的奇數都滿足上述命題，則：

∵M（3，2k-1），∴M（1，2k+1），∴M（3，2k+1）.

……

∴M（2k-1，2k+1），∴M（2k-3，2k+3），

∴M（2k-1，2k+3），∴M（2k+1，2k+1）.

①

又 M（2k-1，2k+1），

∴M（2k-5，2k+5），∴M（2k-3，2k+5），

∴M（2k-1，2k+5），∴M（2k+1，2k+3）.

②

綜合①②得，當a=2k+1時，上述定理也成立.

由k的任意性可知，對于奇數a與另一個奇數b，若M（a，b）成立，則M（a+2，b）也成立.

我們再證a，b同為偶數的情形.

（1）經過驗證，我們知道：據M（2，4）有M（2+2，4）；據M（2，6）有M（2+2，6）；據M（4，6）有M（4+2，6）；……

（2）假設當a=2k時，上面定理成立.即所有不大于2k的偶數都滿足上述命題，則：

∵M（4，2k），∴M（2，2k+2），∴M（4，2k+2）.

……

∴M（2k，2k+2），∴M（2k-2，2k+4），

∴M（2k，2k+4），∴M（2k+2，2k+2）.

①

又 M（2k，2k+2），

∴M（2k-4，2k+6），∴M（2k-2，2k+6），

∴M（2k，2k+6），∴M（2k+2，2k+4）.

②

綜合①②得，當a=2k+2時，上述定理也成立.

由k的任意性可知，對于偶數a與另一個偶數b，若M（a，b）成立，則M（a+2，b）也成立.

綜上所述，可知對于所有自然數，若M（a，b）成立，即M（a，b）有意義，則M（a+2，b）也成立.

推論：在所有自然數中，除M（1，1），M（1，3），M（2，2）外，同奇（同偶）的a，b，M（a，b）恒成立.

2.哥德巴赫猜想：任何大于4的偶數可以寫成兩個奇素數的和.

已知：2n(n＞2).求證：2n=p+q(p，q為奇素數).

證明 ∵2n=1+b(b為奇數，b≠3)，M（1，b）成立，

即1+2m與b-2m同時為素數，

∴2n=（1+2m）+（b-2m）.

令p=1+2m，q=b-2m，有2n= p+q(p，q為奇素數).

推論 任何大于7的奇數都可以寫成3個奇素數的和.

事實上，任何一個大于7的奇數一定能寫成一個奇素數和一個偶數的和，而所有大于4的偶數都可以寫成兩個奇素數的和，故推論成立.