“到角公式”推導中的分類標準的探討

眾所周知，分類討論是高中數學中一種非常重要的思想方法，在平時的學習和高考中隨處可見，可以說分類討論的數學思想貫穿高中數學的始終.也知道在分類的過程中要弄清分類的依據，要做到不能重復，不能遺漏.事實上要做到這一點并不是一件容易的事.這就要求我們教師在平時的教學中注意培養學生這方面的能力，不能照本宣科.

原江蘇高中數學教材（江蘇教育出版社）中“兩直線的位置關系（二）”一節關于“到角公式”的推導采取了分類討論的方法來進行證明.但對于究竟為什么要分類、為什么恰好分成兩類、分類的標準又是什么等問題教材上并沒有交代清楚，這就給具體教學帶來了一定的困難.事實上，我們在研課中發現許多教師基本上都是仿照課本進行直觀的分類，但究竟分類的標準是什么卻很少有人知道.而從課堂觀察來看，學生的分類更是五花八門，有的是按照“到角”是銳角還是鈍角進行分類的，有的是按照這兩直線的交點在x軸上方還是下方來進行分類的，也有的是按照某條直線l1（或l2）的傾斜角α1是銳角還是鈍角來進行分類的，等等，情況不一而足，以上這些分類方法不僅繁瑣而且始終未能抓住要領.其實，我們只要進行簡單的分析就可以做出判斷：若按α1（或α2）是銳角或鈍角進行分類，我們觀察下面兩圖就會發現不管α1為銳角還是鈍角，都有θ=α2-α1，這說明以α1是銳角、鈍角分類不正確.

若按照θ為鈍角或銳角進行分類，我們觀察下面兩圖，則同樣可以發現不管θ為銳角還是鈍角，都有θ=α2-α1，說明以θ為銳角、鈍角分類也不正確.

若按照這兩直線的交點在x軸上方、下方來進行分類，通過下面兩圖不難發現無論交點在x軸上方還是在x軸下方，都有θ=α2-α1，這說明以交點在x軸上方、下方分類也不正確.

另外，更為重要的一點則是按鈍角、銳角劃分本身就不科學，因為僅憑肉眼觀察有時并不能真正分清楚某個角究竟是銳角還是鈍角.這樣自然就不能以此為分類標準進行分類了.那么，究竟該怎樣分類？下面將介紹兩種分類方法，供讀者參考.

第一種方法：以l1，l2和x軸能否構成三角形進行分類.

通過研究以上各種情況我們發現：無論什么情形，θ只有兩種表示：

θ=α2-α1或θ=π-α1+α2.

θ為銳角或鈍角時，或α1為銳角或鈍角時，或P點在x軸上方或下方時，總歸只有兩種可能：

θ=α2-α1和θ=π-α1+α2.

那么這兩種可能是發生在什么情況下呢？仔細觀察可以發現：

（1）若l1，l2和x軸構成一個三角形，那么θ的這兩種可能正好分別對應于這個三角形的內角和外角，于是對“到角”的位置關系進行分類的標準就產生了：

當θ為三角形內角時，θ=α2-α1；

當θ為三角形外角時，θ=π-α1+α2.

（2）若l1，l2和x軸三線不構成三角形（恰好交于一點），此時交點P在x軸上，如下圖：

這時θ仍然只有θ=α2-α1和θ=π-α1+α2兩種情況.

這樣分類就把所有情況覆蓋了，沒有重復，沒有遺漏，滿足分類的要求.這樣使學生能夠感受分類思想運用的必要，同時學生經歷分類過程也至關重要，實際是兩次分類.

第二種方法：根據這兩條直線的傾斜角的大小進行分類.

如果我們仔細研究“到角”與傾斜角之間的關系就會發現“到角”的本質是傾斜角的推廣，傾斜角是“到角”定義中始邊在x軸上的特例.按照這樣的角度來認識，我們就會發現：

（1）當α2>α1時，直線l1按逆時針方向旋轉到l2所轉過的最小正角（即l1到l2的角）顯然就是θ=α2-α1，如左下圖.

（2）當α2<α1時，這時為了保證“到角”為正，就必須將α2先加上π然后再減去α1才能得到θ（即把l1到l2的角θ看作從l1的向上方向轉到l2的向下方向所轉過的最小正角），這樣就有θ=π-α1+α2，如右上圖.

最后，須要指出的是上面的兩種分類方法本質上是一致的，這只需將它們通過平移轉化為l1，l2和x軸三線共點的情形就可以了.