一類半線性橢圓方程正解存在性

【摘要】本文主要考慮半線性橢圓方程△u+f(x，u)+g(|x|)x#8226;u=0，x∈ΩA，其中ΩA={x∈Rn，|x|≥A}，n≥3，A≥1.文章主要給出了其徑向正解存在的充分條件.

【關鍵詞】正解；半線性橢圓方程；存在性

1.引 言

半線性橢圓方程的研究早已引起人們的關注，其中關于正解的研究就是一個重要的課題.近年來在這個領域的研究十分活躍，吸引了許多著名學者的關注，其中包括H.Brezis，L.Nirenberg等等.本節中研究半線性橢圓方程

△u+f(x，u)+g(|x|)x#8226;u=0.

（1）

其中ΩA={x∈Rn，|x|≥A}，f(x，u)是局部Hlder連續的，g(|x|)是連續可微分的.我們將采用上解和下解方法證明其正解的存在性.

2.預備知識

引理1 (見［1］)若在ΩA={x∈Rn，|x|≥A}內方程（1）存在非負下解w(x)和正上解v(x)使得w(x)≤v(x)，x∈ΩA，則方程（1）存在解u(x)滿足w(x)≤u(x)≤v(x)，x∈ΩA.特別地，在SA={x||x|=A}上u(x)=v(x).

為證明方程（1）正解的存在性，我們考慮如下常微分方程的正解存在性.

y″+F(t，y(t)，y′(t))=0，t∈［a，∞).

（2）

假設存在k(x)使得

|F(t，u(t)，u′(t))-F(t，v(t)，v′(t))|≤

k(t)(|u-v|+|u′-v′|).

（3）

引理2 (見［2］)設M>0，若（3）成立且對任意u∈X有∫∞atF(t，u，u′)dt≤M，則方程（2）存在唯一正解y0，使得limx→∞y0=M，0≤y′ 0(t)≤y0(t)t，其中X={u∈C1;0≤u≤M，u′≥0}.

3.主要結論

為建立正解的存在性準則，我們先做如下假設：

H1:φ(u)≤f(x，u)≤a(|x|)ω(u)，其中φ(-u)=-φ(u)，a:［0，∞)→［0，∞)是連續的，ω:［0，∞)→［0，∞)是連續可微的.

H2：f(x，0)=0，x∈ΩA.

定理 若H1，H2成立，∫∞ar(a(r)+|g(r)|)dr<∞，則方程（1）存在正解u，且limx→∞u=0.

證明 令y(r)=y(|x|)=u(x)，則方程（1）等價于

ddrrn-1dydr+rn-1f(x，y)+rng(r)dydr=0.

由假設H1知

ddrrn-1dydr+rn-1a(r)ω(y)+rng(r)dydr≥0.

（3）

作變換r=β(s)=sn-21n-2，h(s)=sy(β(s))，s>0，

則不等式（3）轉化為

h″(s)+1n-2β′(s)β(s)a(β(s))ωh(s)s+

β′(s)β(s)g(β(s))h′(s)-h(s)s≥0.

由ω:［0，∞)→［0，∞)是連續可微的，所以ωh(s)s≤Ch(s)s-0，其中C為常數.

h″(s)+1n-2β′(s)β(s)a(β(s))Ch(s)s-0+

β′(s)β(s)g(β(s))h′(s)-h(s)s≥0.

若∫∞ar(a(r)+|g(r)|)dr<∞，則由引理2知存在v(x)=h(s)s是方程(1)的上解，lim|x|→∞v(x)=0.由假設H2知，常數解w=0是方程(1)的下解.所以由引理1知方程(1)在ΩA內存在非負解u(x)，滿足w(x)≤u(x)≤v(x).根據假設H1知△(-u)+g(|x|)x#8226;(-u)+φ(-u)=f(x，u)-φ(u)≥0，而橢圓方程的強大值原理告訴我們-u不能在ΩA取得極大值，所以-u在ΩA內是負的，即在ΩA內-u=0沒有零點.這說明u(x)是方程(1)的正解，且有limx→∞u=0.

注 文章采用了［1］中的方法證明，但本文f(x，u)可以取負值.

【參考文獻】

［1］E S Noussair， C A Swanson.Positive solutions of quasilinear elliptic equations in exterior domains.J Math Anal Appl，1980，75：121-133.

［2］M Ehrnstrm.Positive solutions for secondorder nonlinear differential equations.Nonlinear Anal，2006，64：1608-1620.