例談數學解題中的構造法及其應用

【摘要】“構造法”作為一種重要的化歸手段，在數學解題中有著重要的作用.本文從“構造函數”、“構造方程”等常見“構造”例談構造法在數學解題中的運用.

【關鍵詞】構造；數學解題

有時對我們所碰到的數學題用常規的思路和方法難以解決，那么我們可以根據題目的結構特征，通過直覺觀察、聯想及猜想等思維活動，用已知條件中的元素和關系式構造一種新的數學形式，如方程、函數、圖形等，以找到一條繞過障礙的新途徑，從而使問題得到解決.這種以“構造”為特征的解題方法稱為構造法.應用構造法解題，可以打破常規，另辟蹊徑，巧妙地解決問題，它在數學解題中有著廣泛的應用.本文就數學解題中的幾種構造法作簡要介紹.

1.構造表達式及公式

例1 已知x，y，z均為實數，且xy≠-1，yz≠-1，xz≠-1.

求證：x-y1+xy+y-z1+yz+z-x1+zx=x-y1+xy#8226;y-z1+yz#8226;z-x1+zx.

分析 欲證結論的結構為三數之和等于三數之積的形式，這與我們所熟悉的△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA×tanB×tanC十分類似，因而啟發我們構造表達式x=tanα，y=tanβ，z=tanγ，原問題等價于證明

tan(α-β)+tan(β-γ)+tan(γ-α)=tan(α-β)#8226;tan(β-γ)tan(γ-α).

（1）

而由式中的各角的結構特點，問題是不難解決的.

由以上分析可知，欲證原式成立，只需證（1）式成立.

證明 ∵（α-β）+（β-γ）+（γ-α）=0，

∴（α-β）+（β-γ）=-（γ-α），

∴tan［(α-β)+(β-γ)］=tan［-(γ-α)］.

即tan(α-β)+tan(β-γ)1-tan(α-β)tan(β-γ)=-tan(γ-α).

即tan(α-β)+tan(β-γ)+tan(γ-α)=tan(α-β)#8226;tan(β-γ)tan(γ-α).

又 tanα=x，tanβ=y，tanγ=z，于是有

x-y1+xy+y-z1+yz+z-x1+zx=x-y1+xy#8226;y-z1+yz#8226;z-x1+zx.

故原命題得證.

本題從結論的結構形式特征入手，構造公式tanA+tanB+tanC=tanA×tanB×tanC，由此得到原題的簡捷證法.應用此公式，可得到具有三數之和等于三數之積特征的一類問題的最優解法.

2.構造方程、方程組

例2 在等比數列{an}中，a1+an=66，a2an-1=128，且前n項的和Sn=126，求 n及公比q.

分析 此題可以建立方程組求解，但計算量比較大.換個方法我們可以利用等比數列的性質得到a1，an的和與積，利用韋達定理構造一個以a1，an為兩根的方程，然后通過解一個一元二次方程就可以得解.

解 ∵a1an=a21qn-1，a2an-1=a21qn-1，

∴a1an=a2an-1=128.

又 a1+an=66，

∴a1，an是方程x2-66x+128=0的兩根.

解方程，得x1=2，x2=64.

∴a1=2，an=64或a1=64，an=2.

（1）若a1=2，an=64，顯然q≠1，由a1-anq1-q=126，得q=2.

又 an=a1qn-1，∴2n-1=32，n=6.

(2)若a1=64，an=2時，同理可求q=12，n=6.

綜上所述n=6，q=2或12.

3.構造函數

例3 已知關于x的不等式|x-1|>x2+a的解集A≠且A（-∞，0），求實數a的取值范圍.

分析 此不等式求解比較困難，我們可以在不等號兩邊構造兩個函數，利用函數的性質求解.

解 設f(x)=|x-1|，g(x)=x2+a， f(x)=|x-1|是一條折線，g(x)=x2+a是頂點為（0，a）、開口向上的拋物線，由題意知，兩個圖像有兩個交點且都在y軸的左方，因此不等式|x-1|>x2+a的解集A≠且A（-∞，0），等價于方程1-x=x2+a有兩個不相等的非正根，化簡為x2+x+a-1=0，方程較大的根-1+5-4a2≤0，由此得1≤a<54.

理解和掌握函數的思想方法有助于實現數學從常量到變量的認識上的飛躍.很多數學命題繁冗復雜，難尋入口，若巧妙運用函數思想，能使解答別具一格，耐人尋味.

4.構造不等式

例4 已知直線l過點P(1，4)，求它在兩坐標軸正向截距之和最小時的方程.

分析 設已知直線l在兩坐標軸正向截距分別為a，b，原題化歸為求(a+b)取最小值時的直線方程xa+yb=1，其中關鍵是構造(a+b)取最小值的不等式.

解 設直線l的方程為xa+yb=1.

由點P(1，4)在直線l上，可得

1a+4b=1(a>0，b>0).

(1)

由此a+b=(a+b)1a+4b=5+ba+4ab

≥5+2ba#8226;4ab=9ba>0，4ab>0.

當且僅當ba=4ab，代入(1)，得a=3，b=6，(a+b)取到最小值9.

所求直線方程為x3+y6=1.

5.構造圖形

華羅庚曾說過，“數離開形少直觀，形離開數難入微”，利用數形結合的思想，可溝通代數與幾何的關系，使得難題巧解.

例5 設有7個人參加了一次晚會，每個人都與另外六人握一次手，問：共握手幾次？

分析 用Ai(i=1，2，…，7)7個點分別表示參加晚會的七個人，兩人握一次手用一條連接該兩點的邊來表示，則握手次數就是該圖的邊數.

解 7人握手的次數為

7(7-1)2=21(次).

一般來講，代數問題較為抽象，若能通過構造將之合理轉化為幾何問題，利用“數形結合”這一重要思想方法往往可增強問題的直觀性，使解答事半功倍或獨具匠心.

6.構造數列

例6 求(x+1)+（x+1）2+(x+1)3+…+(x+1)30的展開式中x2項的系數.

分析 可以構造等比數列{an}，首項a1=x+1，公比q=x+1.利用等比數列的前n項和公式可以先化簡原式，然后用二項式定理求x2項的系數.

解 （x+1）+(x+1)2+(x+1)3+…+(x+1)30

=(x+1)［1-(x+1)30］1-(x+1)

=(x+1)31x-x+1x.

含有x2項的系數為C331=4495.

相當多的數學問題，如證明不等式，嘗試一下“構造數列”能產生意想不到的效果.

從以上各例不難看出，構造法是一種極富技巧性和創造性的解題方法，體現了數學中發現、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、探索、特殊化等重要的數學方法.運用構造法解數學題可從中欣賞數學之美，感受解題樂趣，更重要的是可開拓思維空間，啟迪智慧，并對培養多元化思維和創新精神大有裨益.

【參考文獻】

［1］鄭隆炘，湯光宋，等.中學數學解題教程［M］.武漢：華中理工大學出版社，2009.

［2］戴再平，等.數學方法與解題研究［M］.北京：高等教育出版社，1996.