三角函數(shù)最值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型

三角函數(shù)的最值問(wèn)題是三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用，是高考常考內(nèi)容之一.解這類(lèi)題，不僅用到三角函數(shù)中的各種知識(shí)，而且涉及求最值的諸多方法，因此成為高考命題的熱點(diǎn).為了使同學(xué)們更好地掌握這部分內(nèi)容，現(xiàn)就其常見(jiàn)類(lèi)型及解法進(jìn)行例析.

1.形如y=asinx+bcosx的函數(shù)

特點(diǎn)是含有正、余弦函數(shù)，并且是一次式.解決此類(lèi)問(wèn)題的指導(dǎo)思想是把正、余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為只有一種三角函數(shù)，即引入輔助角，轉(zhuǎn)化為y=a2+b2sin(x+φ)，其中tanφ=ba.

例1 已知x∈-π2，π2，求函數(shù)f(x)=sinx+3cosx的最值.

解 f(x)=sinx+3cosx=212sinx+32cosx

=2sinx+π3.

∵-π2≤x≤π2，∴-π6≤x+π3≤5π6.

∴sinx+π3有最小值-12，最大值1.

∴f(x)有最小值-1，最大值2.

2.形如y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x的函數(shù)

特點(diǎn)是含有sinx，cosx的二次式.處理方式是降冪，再化為類(lèi)型1的形式來(lái)解.即通過(guò)降次轉(zhuǎn)化為y=Asin2x+Bcos2x+C.

例2 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值時(shí)x的集合.

解 y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x

=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x

=1+sin2x+1+cos2x

=2+2sin2x+π4.

當(dāng)sin2x+π4=-1時(shí)，y取最小值2－2，此時(shí)x的集合為{x|x=kπ－38π，k∈Z}.

3.形如y=asin2x+bcosx+c的函數(shù)

特點(diǎn)是含有sinx，cosx，并且其中一個(gè)是二次.處理方式是應(yīng)用sin2x+cos2x=1，使函數(shù)式只含有一種三角函數(shù)，再應(yīng)用換元法，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)來(lái)求解.

例3 已知k<-4，求函數(shù)y=cos2x+k(cosx－1)的最小值.

解 配方，得y=2cos2x+kcosx-k-1

=2cosx+k42-k28-k-1.

∵k＜-4，即k4＜-1.

故當(dāng)cosx=1時(shí)，y有最小值2×1+k-k-1=1.

∴函數(shù)的最小值為1.

4.形如y=asinx+cbcosx+d的函數(shù)

特點(diǎn)是一個(gè)分式，分子、分母分別會(huì)有正、余弦的一次式.處理方式是轉(zhuǎn)化為類(lèi)型1的方法去解決.

例4 求函數(shù)y=2-sinx2-cosx的最大值和最小值.

解 將y=2-sinx2-cosx化為sinx-ycosx=2-2y，

即sin(x+φ)=2-2y1+y2.

由|sin(x+φ)|≤1，即|2-2y|1+y2≤1，

解得4-73≤y≤ 4+73.

所以函數(shù)y的最小值為4-73.

5.形如y=acosx+bccosx+d或y=asinx+bcsinx+d的函數(shù)

特點(diǎn)也是一個(gè)分式，分子、分母都是正、余弦的一次式.處理方式是用分離法，即用|cosx|≤1或|sinx|≤1來(lái)解決.

例5 求函數(shù)y=2+cosx2-cosx(x∈R)的最大值.

解 ∵y=2+cosx2-cosx，

∴2y-ycosx=2+cosx，∴cosx=2y-2y+1.

∵|cosx|≤1，∴2y-2y+1≤1.

從而可得(2y-2)2≤(y+1)2，即3y2-10y+3≤0，

解得13≤y≤3，∴y的最大值為3.

6.形如y=(sinx+a)(cosx+b)的函數(shù)

其特點(diǎn)是含有或經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)整理后出現(xiàn)sinx+cosx與sinxcosx的式子.處理方式是應(yīng)用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即令t=sinx+cosx，把已知函數(shù)式化為關(guān)于t的二次函數(shù)問(wèn)題.

例6 求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值.

解 令sinx+cosx=t，(-2≤t≤2)，則1+2sinxcosx=t2，

∴2sinxcosx=t2-1，∴y=t2-1+t=t+122-54.

根據(jù)二次函數(shù)的圖像，解出y的最大值是1+2.

通過(guò)這一歸納整理，大家對(duì)有關(guān)三角函數(shù)最值的問(wèn)題就不會(huì)陌生了.并且好多其他的求最值的問(wèn)題可以通過(guò)適當(dāng)?shù)娜亲儞Q，結(jié)合化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問(wèn)題.