幾類寓數于形解題探析

數形結合是一種數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質；或者是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質.數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化.數形結合給解題帶來很多意想不到的方便，下面就幾類問題進行討論.

1.與距離有關的問題

例1 求y=（cosθ-cosα+3）2+（sinθ-sinα-2）2的最大（小）值.

分析 可看成求兩動點P（cosθ，sinθ）與Q（cosα-3，sinα+2）之間距離的最值問題.

解 兩動點的軌跡方程為x2+y2=1和（x+3）2+（y-2）2=1，轉化為求兩曲線上兩點之間距離的最值問題，如圖.

|PQ|max=|CB|=2+13，

|PQ|min=|AD|=13-2.

2.與截距有關的問題

例2 若直線y=x+k與曲線x=1-y2恰有一個公共點，求k的取值范圍.

解 曲線x=1-y2是單位圓x2+y2=1的右半圓（x≥0），k是直線y=x+k在y軸上的截距.

由數形結合知：直線與曲線相切時，k=-2，由圖形，可得k=-2，或-1

3.與定義有關的問題

例3 求拋物線y2=4x上到焦點F的距離與到點A（3，2）的距離之和為最小的點P的坐標，并求這個最小值.

分析 要求PA+PF的最小值，可利用拋物線的定義，把PF轉化為點P到準線的距離，化曲為直，從而借助數形結合解決相關問題.

解 P′是拋物線y2=4x上的任意一點，過P′作拋物線的準線l的垂線，垂足為D，連P′F（F為拋物線的焦點），由拋物線的定義可知，|P′F|=|P′D|，|P′A|+|P′F|=|P′A|+|P′D|.過A作準線l的垂線，交拋物線于P，垂足為Q，顯然，直線AQ之長小于折線AP′D之長，因而所求的點P即為AQ與拋物線交點.

∵直線AQ平行于x軸，且過A（3，2），

∴方程為y=2，代入y2=4x，得x=1.

∴P（1，2）與F，A的距離之和最小，最小距離為4.

評注 （1）化曲線為直線是求距離之和最有效的方法，在橢圓、雙曲線中也有類似問題.

（2）若點A在拋物線外，則點P即為AF與拋物線交點（內分AF）.

4.運用數形結合思想解三角函數題

例4 函數f（x）=|sinx|+2sinx，x∈［0，2π］的圖像與直線y=k有且僅有２個不同的交點，則k的取值范圍是

分析 本題根據函數解析式畫出圖像，可以直觀而簡明地得出答案，在有時間限制的高考中就能大大地節約時間，提高考試的效率.

解 函數f（x）=3sinx，(0，π］，

-sinx，x∈(π，2π］，

由圖像可知，1

5.運用數形結合思想解復數題

例5 設|z1|=5，|z2|=2，|z1-z2|=13，求z1z2的值.

分析 利用復數模、四則運算的幾何意義，將復數問題用幾何圖形幫助求解.

解 如圖，設z1=OA，z2=OB，則z1=OC，z2=OD.

由圖可知：z1z2=52，

∠AOD=∠BOC.

由余弦定理，得

cos∠AOD=52+22-(13)22×5×2=45.

∴z1z2=5245±35i=2±32i.

另解 設z1=OA，z2=OD，如圖所示.

則z1z2=52，且

cos∠AOD=52+22-(13)22×5×2=45，sin∠AOD=±35，

∴z1z2= 5245±35i=2±32i.

即z1z2=2±32i.

評注 本題運用“數形結合法”，把共軛復數的性質與復平面上的向量表示、代數運算的幾何意義等都表達得淋漓盡致，體現了數形結合的生動活潑.一般地，復數問題可以利用復數的幾何意義而將問題變成幾何問題，也可利用復數的代數形式、三角形式、復數性質求解.