例析向量在解題中的應用

【摘要】平面向量是高中新教材的重要內容，它既反映了現實世界的數量關系，又體現了幾何圖形的位置關系，從而將數和形有機地結合起來.利用向量法解某些數學問題，往往可以收到化繁為簡、化難為易和綜合應用的效果，并且能拓寬學生的解題思路，激發他們的學習興趣和熱情.

【關鍵詞】向量；解題；應用

平面向量是高中新教材的重要內容，它既反映了現實世界的數量關系，又體現了幾何圖形的位置關系，從而將數和形有機地結合起來.因此以平面向量的相關知識為載體，以數形轉化思想方法為主線，在知識網絡交匯處設計創新力度較大、綜合性較強的試題，已成為近幾年高考和各地模擬命題的新熱點.試題有效地溝通了知識間的橫向聯系，有助于知識網絡的構建，有力地考查了學生的綜合能力和數學素質.

利用向量法解題在近幾年的高考試題中已多次出現，向量法解題將成為使用試驗新教材地區高考命題的一個新的熱點，同時向量法解題也是高中幾何改革的根本出路.高中數學課程標準中也提出:“應當綜合法和向量法并重，以向量法為主.”下面就對用向量法解題作一些探討.

一、利用向量解決不等式的有關問題

向量是一個幾何量，是一個具有“形”的量，因此，我們可以從圖形中的三角形任意兩邊之和大于第三邊、任意兩邊之差小于第三邊的不等關系得到啟發，在不等式的證明過程中運用向量中的不等性質，使量的關系變為幾何形來討論，我們將會感覺到直觀而生動.

例1 設ai，bi∈R(i=1，2)，求證：(a1b1+a2b2)2≤(a21+a22)(b21+b22).

分析 本題是著名的柯西不等式之一，用常規方法證明，過程冗長，但用向量法證明其優勢可見.

證明 設x=(a1，a2)，y=(b1，b2)，由|x#8226;y|≤|x|#8226;|y|，得|a1b1+a2b2|≤a21+a22#8226;b21+b22.

∴(a1b1+a2b2)2≤(a21+a22)(b21+b22).

二、利用向量解決函數的有關問題

例2 求函數y=x2-6x+153-x2+10x+61的最大值.

分析 將y=x2-6x+153-x2+10x+61配方，得

y=(x-3)2+122-(x+5)2+62.

聯想向量，設a=(x-3，12)，b=(x+5，6)，此題妙在|a-b|=10為一個常數，只需利用|a|-|b|≤|a-b|很快就能達到目的.

解 y=x2-6x+153-x2+10x+61

=(x-3)2+122-(x+5)2+62.

設a=(x-3，12)，b=(x+5，6)，則|a-b|=10，

|a|-|b|≤|a-b|=10，即|a|-|b|≤10.

當a與b的方向相同時，取“=”號，即6(x-3)=12(x+5).

∴x=-13時，y有最大值為10.

點評 一般地，若被開方數是一個平方和的形式，可將該數或式看成某個向量的模，再結合平面向量的性質||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，它能幫你降“妖”除“魔”，求出函數的最大值或最小值.

三、利用向量解決解析幾何的有關問題

平面向量是較簡單的內容，它用于解決平面解析幾何問題有較大優勢，特別是將一元二次方程的韋達定理、方程組的解及向量的數量積有機地結合起來，其優勢更加明顯.現在我們以某市高中畢業會考試題為例，來學習討論這一問題.

例3 如圖所示，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B，求∠AOB的大小.

解 由y=x-2，

y2=2x，得y2-2y-4=0.

即y1+y2=2，

y1#8226;y2=-4，

且x1=y1+2，x2=y2+2.

∵cos∠AOB=OA#8226;OB|OA|#8226;|OB|，OA#8226;OB=x1x2+y1y2，

其中x1x2=(y1+2)(y2+2)=4，

∴OA#8226;OB=x1x2+y1y2=0，即OA⊥OB，∴∠AOB=90°.

向量是數學中的一個重要概念，它既有良好的代數運算性質，也有明顯的幾何意義，因此，在圓錐曲線問題中，常以向量的角度來表示幾何量的關系和性質.利用向量來解決圓錐曲線問題，是近幾年的高考題中的一個熱點.

四、利用向量解決幾何的有關問題

向量既能體現“形”的直觀的位置特征，又具有“數”的良好的運算性質，所以它是數形結合和轉換的重要橋梁.它的主要價值體現在幾何中，使得在解決幾何問題時，可以減少繁瑣困難的邏輯推理過程.因此，用向量法解數學題，往往可以收到化繁為簡、化難為易和綜合應用的效果.然而，現行的高中教材中向量部分的內容，僅限于介紹向量的一些基本概念和基本運算，而對用向量來解決數學問題則很少涉及.以下就有關問題給出向量解法.

例4 如圖，P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PECF是矩形，用向量法證明：(1)PA=EF；(2)PA⊥EF.

分析 建立坐標系引入坐標是關鍵.

證明 建立如圖所示的直角坐標系，設正方形的邊長為1，|DP|=λ.

則A(0，1)，P22λ，22λ，E1，22λ，F22λ，0，

∴PA=-22λ，1-22λ，EF=22λ-1，-22λ.

(1)∵|PA|2=-22λ2+1-22λ2=λ2-2λ+1，

|EF|2=22λ-12+-22λ2=λ2-2λ+1，

∴|PA|2=|EF|2，故PA=EF.

（2）∵PA#8226;EF

=-22λ22λ-1+1-22λ-22λ=0，

∴AP⊥EF，即PA⊥EF.

點評 通過建立適當的坐標系，賦予幾何圖形有關點與向量的坐標，將有關幾何問題轉化為相應的代數運算和向量運算，從而使問題得到解決.

總之，在有些數學問題的解決中，適當地運用向量工具不僅有助于問題的解決，而且有時還較傳統的方法更簡捷、更方便，更重要的是這樣做還能使學生從不同的角度揭示各種知識點之間的內在聯系，拓寬其解題思路，從而激發學生的學習興趣和熱情.