改進兩定理,研究抽象函數值為分式遞推型的周期性

定理一 設數列{an}滿足an+1=ban+cdan+e(be-dc≠0，db≠0)，記系數組成矩陣A=bc

de，則an+l可表示為an+l=blan+cldlan+el，此處blcl

dlel=Al.

定理二 對于遞推數列an+1=ban+cdan+e，其系數對應于A=bc

de，則該數列為非常數的周期數列的充要條件是存在一個正整數l≥2，使Al為數量矩陣，即Al=a0

0a(a≠0)，其中l就是數列{an}的一個周期.

以上兩個定理對遞推數列an+1=ban+cdan+e具有周期性的判別進行了很好的簡述，筆者從中獲取到如下啟發：數列中的an與an+1就是函數值，那么抽象函數f(x)滿足f(x+a)=bf(x)+cdf(x)+e恒成立的周期性能用上面的定理的系數關系解決嗎?若能，周期與l有什么關系？筆者通過研究論證，發現將上述兩個定理可以改進如下:

定理一(改) 設抽象函數f(x)滿足

f(x+a)=bf(x)+cdf(x)+e(be-dc≠0，db≠0)，

記系數組成矩陣A=bc

de，則

f(x+la)可表示為f(x+la)=blf(x)+cldlf(x)+el，

此處blcl

dlel=Al.

證明 當l=1時，f(x+a)=bf(x)+cdf(x)+e，則

f(x+a)對應矩陣A=bc

de.當l=2時，

∵f(x+2a)=bf(x+a)+cdf(x+a)+e=(b2+dc)f(x)+bc+ec(bd+de)f(x)+dc+e2，

∴f(x+2a)對應矩陣b2+dcbc+ec

bd+dedc+e2.

而A2=bc

debc

de，∴f(x+2a)對應矩陣A2.

假設l=k時，f(x+ka)=bkf(x)+ckdkf(x)+ek，f(x+ka)對應于矩陣Ak=bkck

dkek，則l=k+1時，

f(x+(k+1)a)=bf(x+ka)+cdf(x+ka)+e

=(bbk+cdk)f(x)+bck+cek(dbk+edk)f(x)+dck+eek，

而Ak+1=AAk=bc

debkck

dkek=bbk+cdkbck+cek

dbk+edkdck+eek，

∴f(x+(k+1))對應于矩陣Ak+1.

定理二(改) 對抽象函數f(x)滿足f(x+a)=bf(x)+cdf(x)+e(be-dc≠0，db≠0)，記系數組成矩陣A=bc

de，則該函數為非常數的周期函數的充要條件是存在一個正整數l≥2，使Al為數量矩陣，即Al=h0

0h(h≠0)，其中l|a|就是函數f(x)的一個正周期.

證明 由定理一(改)可知，該函數為非常數的周期函數存在一個正整數l≥2，對于任意x∈R都有f(x+la)=f(x)=hf(x)+00f(x)+hAl為數量矩陣h0

0h(h≠0).

注 對于抽象函數f(x)滿足f(x+a)=bf(x+m)+ddf(x+m)+e(a≠m)，只要用x-m替換x，可轉化為定理二(改)情況處理.

例1 (2006年北京東城模擬)設函數f(x)的定義域為R，且f(x+2)［1-f(x)］=1+f(x).又f(2)=2+2，則f(2006)=

解 由f(x+2)［1-f(x)］=1+f(x)，

得f(x+2)=f(x)+1-f(x)+1.

其系數對應于矩陣A=11

-11.

∵A4=-40

0-4，

由定理二(改)知，該函數f(x)的周期為8.

又 ∵A2=02

-22，則f(x+4)=0f(x)+2-2f(x)+0=-1f(x).

又 f(2)=2+2，

∴f(2006)=f(250×8+6)=f(6)=-1f(2)=2-22.

例2 已知定義在(-∞，+∞)上的奇函數f(x)滿足關系式f(x+1)=1-f(x)1+f(x)，當0

A.1B.-1C.12D.-12

解析 A=-11

11.又A2=20

02，

由定理二（改）可知，該函數為周期函數，周期為2.

又 f(x)是(-∞，+∞)上的奇函數，

故f(5.5)=f(5.5-6)=f(-0.5)=-f(0.5)=-1.