隨機向量在概率統計課程中的應用

【摘要】討論了隨機向量的性質及其在概率與數理統計課程中的相關應用.

【關鍵詞】隨機向量；二次型；概率與數理統計

在概率與數理統計課程中，涉及多維隨機變量的概率密度、數字特征等內容時，由于概率密度函數相對復雜、計算量大，特別是涉及多維正態分布時，給講解和計算都帶來很大的麻煩.應用隨機向量的方法，會使多維正態分布概率密度的表示更簡潔，應用相應性質還能更方便地計算相關數字特征等.

1.隨機向量的性質

設X=(X1，…，Xn)′為n×1隨機向量，稱

E(X)=(EX1，…，EXn)′

(1)

為X的均值向量.

A為n×n對稱陣，則隨機變量

X′AX=∑ni=1∑nj=1aijXiXj，

(2)

稱為X的二次型.

n維隨機向量X的協方差陣定義為

Cov(X)=E((X-EX)(X-EX)′).

(3)

協方差陣為一個n×n對稱陣，它的(i，j)元為Cov(Xi，Xj)=E((Xi-EXi)(Xj-EXj))，并且有X的協方差陣的對角元為X的分量的方差，非對角元為相應分量的協方差.

定理1 設X和Y分別為n×1和m×1隨機向量，A和B分別為p×n和q×m非隨機矩陣，則

Cov(AX，BY)=ACov(X，Y)B′.

(4)

定理2 設E(X)=μ，Cov(X)=Σ，則

E(X′AX)=μ′Aμ+tr(AΣ).

(5)

推論 在定理2假設條件下，若Σ=σ2I，則

E(X′AX)=μ′Aμ+σ2trA.

設n維隨機向量X=(X1，…，Xn)′具有密度函數

f(x)=1(2π)n2(detΣ)12e-12(x-μ)′Σ-1(x-μ)，

(6)

其中x=(x1，…，xn)′，-∞

定理3 設X～Nn(0，Σ)，Σ為正定陣，則X′Σ-1X～χ2n.

2.隨機向量的應用

例1 設X1與X2獨立同分布，其共同分布為N(μ，σ2)，試求Y=aX1+bX2與Z=cX1+dX2的相關系數，其中a，b，c，d為非零常數.

解 設X=(X1，X2)′，A=(a，b)，B=(c，d)，則有Y=AX，Z=BX，由已知條件得到Cov(X)=σ2I，應用定理1，得

Cov(Y，Z)=Cov(AX，BX)=ACov(X)B′

=［a，b］σ20

0σ2c

d=(ac+bd)σ2.

由已知，可得

Var(Y)=(a2+b2)σ2，Var(Z)=(c2+d2)σ2.

Y與Z相關系數為

Corr(Y，Z)=Cov(Y，Z)Var（Y）Var(Z)

=(ac+bd)σ2(a2+b2)(c2+d2)σ2

=ac+bd(a2+b2)(c2+d2).

例2 設X1與X2獨立同分布，其共同分布為Exp(λ)，試求Y=4X1-3X2與Z=3X1+X2的相關系數.

解 類似例1的解法，有a=4，b=-3，c=3，d=1，由已知條件，得到Cov(X)=1λ2I，有

Cov(Y，Z)=(ac+bd)σ2=9λ2.

由已知，可得Var(Y)=25λ2，Var(Z)=10λ2.

Y與Z相關系數為

Corr(Y，Z)=ac+bd(a2+b2)(c2+d2)=9510=0.5692.

例3 設總體X~N(μ，σ2)，x1，…，xn是來自該總體的一個樣本，試確定常數c使c∑n-1i-1(xi+1-xi)2為σ2的無偏估計.

解 記Q=∑n-1i=1(xi+1-xi)2，X=(X1，…，Xn)′，Q表示成一個二次型，用1n表示所有元素為1的n維向量，則E(X)=μIn，Cov(X)=σ21，記

C=000…0

-110…0

0-11…0

00-1…0

00…-11，

D=C′C=1-10…0

-12-1…0

0-12…0

00-1…0

00…-11 .

于是，Q=∑n-1i=1(xi+1-xi)2=(CX)′(CX)=X′C′CX=X′DX.

應用定理2，得

E(Q)=(EX)′D(EX)+σ2trD=μ21′ nD1n+σ2trD.

容易驗證D1n=0，trD=2(n-1).

故有E(Q)=2(n-1)σ2，得到c=12(n-1).

【參考文獻】

［1］王松桂，陳敏，陳麗萍.線性統計模型［M］.北京:高等教育出版社，1999.

［2］茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程［M］.北京:高等教育出版社，2005.

基金項目：韓山師范學院青年科學基金項目.