從一道數學題的解答過程談逆向思維法

一位網友在搜狐的初中學習論壇上問了一道數學題：已知等邊三角形ABC中，P為三角形內的一點，且PA=3，PB=5，PC=4.求∠APB的度數.作為一名初二學生的家長，同時又是一名老師（教計算機），我經常光顧初中學習這個論壇，并常常去瀏覽有關數學問題，以達到輔導女兒學習的目的.

一、解題的思維過程

對于如上問題，有網友認為可能缺少等邊三角形的邊長條件，但我們仔細想想或作一個圖，就會知道通過已知條件可以確定這樣的三角形，因此并不缺少條件.

還有網友“覺得用余弦定理一定可以解出來，不過好像不是初中知識”，這很有道理，我通過余弦定理可以得到如下方程式：

32+52-2×3×5×cos∠APB=32+42-2×3×4×cos∠APC=52+42-2×5×4×cos∠BPC.

（1）

∵∠BPC=2π-∠APB-∠APC，

∴cos∠BPC=cos(∠APB+∠APC).

帶入（1）式后就是只有兩個未知數的兩個方程，好像可以解答出來了.可是因為是三角函數方程，解答起來比較困難.

∵cos(∠APB+∠APC)=cos∠APB#8226;cos∠APC-sin∠APB#8226;sin∠APC，

而sin∠APB=1-cos2∠APB，

sin∠APC=1-cos2∠APC.

再帶入得到的方程非常復雜，很難解答出來，因此通過余弦定理來解答行不通.

避開了余弦定理，我曾嘗試用三角函數的其他方法，如:

3sin∠PAB=5sinπ3-∠PBC，

5sin∠PBC=4sinπ3-∠PCA，

4sin∠PCA=3sinπ3-∠PAB.

（2）

同樣是三個未知數三個方程，好像可以解答出來，但是由于展開后又是正弦和余弦函數都有的三角函數方程，解答起來依然非常困難，只好另求解答方法.

從PA=3，PB=5，PC=4的條件我們很容易聯想到“勾三股四弦五”，即通過勾股定理來構造直角三角形，但又好像沒有可以用來夠成等腰直角三角形的邊.這時我們可以想到：因為PB=5，以它為弦來構造一個Rt△PEB，使PE=3，BE=4，這樣∠BPE就確定了，只要求出等腰三角形APE的頂角，題目就得解了.

可是由于AE的長度不知，求出∠APE同樣困難.經過反復思考，突然發(fā)現△AEB和△APC有相同之處，如果它們全等問題就得解了.因為AB=AC，BE=PC，要證明△AEB和△APC全等，必須∠ABE=∠ACP，可是要證明∠ABE=∠ACP又不知該如何下手.

二、運用逆向思維方法

似乎解題方法又陷入了絕境，但我們又可以想到如果兩個三角形全等，那么AE=AP=3，△APE就是等邊三角形了.我們利用逆向思維方法，先通過AP為底邊作△APE為等邊三角形，連接BE，證明△BEP為直角三角形，問題同樣得解了.

因為△APE為等邊三角形，∠BAC=∠PAE=π3，則∠BAE=∠CAP，AE=AP=3，AC=AB，則△AEB和△APC全等，故EB=PC=4.因為BE=4，EP=3，BP=5，可以求得∠APB=π3+arcsin45.原題得解.

本題采用逆向思維方法，先通過AP為底邊作△APE為等邊三角形，是問題得解的關鍵.

三、問題的展開

從上面的答案可以看出，一個初中學生可能無法用π3+arcsin45來表示，因為他們沒有學習過反三角函數.當然他可以這樣來表述，設“勾三股四弦五”的直角三角形中，較大的一個銳角為α，則∠APB=π3+α.

我們通過同樣的方法，以PC為底邊作等邊三角形PFC，可以得到∠BPC=π3+arcsin35.同樣很容易證明四邊形PEBF為矩形，則∠APC=2π-π3-π3-π2=5π6.

從以上可以看出，如果原題改為求∠APC的度數，就用不著反三角函數表示了.

四、逆向思維方法在教與學中的應用

其實逆向思維方法是我們在正常解答過程中遇到障礙時常用的一種方法，可是我們在許多教學輔導材料中只能看到它的解答過程，并不清楚在解答過程中的思維過程.很多同學在解答類似題目過程中，很難找到突破口，主要是在平時訓練中按照正常的思考過程居多，很難跳躍到逆向思維.

在教學中，在證明題中，我們經常用到要證明某結果，需要什么條件，要證明這個條件成立，又需要什么條件，并一直推到已知條件，這就是一種逆向思維方法.

另外，作為教師，在給同學們解答例題時，要多給同學們講解你的思維過程，包括失敗的思維過程，以讓同學們能夠很好地總結.特別是在思維過程中是怎樣采用逆向思維讓問題得以解決的，不能單單把問題一步一步地解答出來了事.

當前，我們的大學教育一般都是根據老師的經驗制訂教學計劃和教學大綱，上課的時候根據教材的內容給學生講解，往往和實際很脫節(jié).因此，教學改革勢在必行.在改革中，我們也不妨采用逆向思維方法，深入了解學生的需求，了解當前流行的技術和社會需求，大刀闊斧地進行革新，對不必要的課程堅決去除，對學生感興趣和流行的技術要采用先進的教學手段進行教學，使學生能從中受益.