例析抽象函數的奇偶性

【摘要】所謂抽象函數，是指沒有具體地給出函數的解析式，只給出它的一些特征或性質.解決這類問題常涉及函數的概念和函數的各種性質.這類問題往往具有抽象性、綜合性、技巧性等特點.它既是教學的難點，又是近幾年高考中的熱點.本文通過例題僅探討抽象函數的奇偶性的問題.

【關鍵詞】抽象函數；奇偶性

一、判斷抽象函數奇偶性

例1 （2009年全國1）函數f(x)的定義域為R，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，則().

A.f(x)是偶函數B.f(x)是奇函數

C.f(x+2)是奇函數D.f(x+3)是奇函數

解 ∵f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，

∴f(-x+1)=-f(x+1)，f(-x-1)=-f(x-1).

∴函數f(x)關于點(1，0)及點（-1，0）對稱，且它又是周期T=2［1-(-1)］=4的周期函數.

∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4)，

即f(-x+3)=-f(x+3).

∴f(x+3)是奇函數.故選D.

例2 若函數f(x)周期為2，且等式f(1+x)=f(1-x)對任意的x∈R均成立，判斷f(x)的奇偶性.

解 由函數f(x)的周期為2，得f(x)=f(x+2).

由f(1+x)=f(1-x)，得f(-x)=f(2+x).

∴f(-x)=f(x)，故f(x)是偶函數.

二、證明抽象函數奇偶性

例3 已知f(x)的定義域為R，且對任意實數x，y滿足f(xy)=f(x)+f(y).求證：f(x)是偶函數.

證明 ∵f(xy)=f(x)+f(y)，

∴當令y=-1時，f(-x)=f(x)+f(-1).

當令x=y=-1時，f(1)=f(-1)+f(-1).

令x=y=1時，f(1)=f(1)+f(1).

故可知，f(1)=0，f(-1)=0，

∴f(-x)=f(x).故f(x)是偶函數.

三、用函數的奇偶性求抽象函數解析式

例4 已知f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，且f(x)+g(x)=x2+x+1，求f(x)，g(x)的表達式.

解 ∵f(x)+g(x)=x2+x+1，

①

∴f(-x)+g(-x)=(-x)2-x+1.

②

把f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)代入②，得

-f(x)+g(x)=x2-x+1.

③

由①③，得f(x)=x2+1，g(x)=x.

四、幾個抽象函數的奇偶性及函數模型

（1）若函數y=f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，則f(x)是奇函數.

（2）若函數y=f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)1-f(x)f(y)，則f(x)是奇函數.

（3）若函數y=f(x)滿足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)#8226;f(y)，f(0)≠0，則f(x)是偶函數.

（1）的模型是f(x)=kx(k≠0)，（2）的模型是f(x)=tanx，（3）的模型是f(x)=cosx.

五、求 值

例5 設f(x)是定義在R上的偶函數，且f(x+3)=1-f(x)，則f(7.5)的值為

解 取x=-1.5，則

f(-1.5)=f(1.5)，f(-1.5+3)=1-f(1.5)，

得f(1.5)=12.

f(4.5)=f(1.5+3)

=1-f(1.5)

=1-12=12，

∴f(7.5)=f(4.5+3)=1-f(4.5)=0.5.

六、比較大小

例6 （2009年遼寧）已知f(x)是偶函數，f(x)在區間［0，+∞)單調增加，則滿足f(2x+1)

A.13，23B.13，23

C.12，23D.12，23

解 ∵f(x)是偶函數，f(x)在區間［0，﹢∞)單調增加，

∴|2x+1|<13，即-13<2x+1<13，

解得13＜x＜23.故選A.

七、研究函數的圖像

例7 若函數y=f(x+2)是偶函數，則y=f(x)的圖像關于直線對稱.

分析 y=f(x)的圖像向左移2個單位得y=f(x+2)的圖像，y=f(x+2)的圖像向右移2個單位得y=f(x)的圖像.而y=f(x+2)是偶函數，對稱軸是x=0，故y=f(x)的對稱軸是x=2.

【參考文獻】

［1］楊在強.關于函數對稱性的幾個結論.數學教學通訊，2006（3）.

［2］陳玉宏.例析抽象函數的求解策略.數理化學習，2009（4）.