對一道考研數學題的認識

【摘要】由一道考研數學題引入，分別應用了概率統計和高等數學的方法對∫+∞-∞exp(-x2)dx給出求解方案，并介紹了一種工程上的解決方案.

【關鍵詞】不可積分；函數；求解

一、引 言

試題（2010.1α）：設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f(x，y)=A#8226;exp(-2x2+2xy-y2)，其中-∞

解題思路 顯然可利用概率密度的性質，得到

∫∫+∞-∞f(x，y)dxdy=1.

即1=∫∫+∞-∞f(x，y)dxdy

=A#8226;∫+∞-∞exp(-x2)dx∫+∞-∞exp(-x2+2xy-y2)dy

=Aπ∫+∞-∞112×2πexp-x22×122dx#8226;

∫+∞-∞112×2πexp-(y-x)22×122dy.

(*)

顯然轉化為求“∫+∞-∞exp(-x2)dx”模型的積分值.

但遺憾的是，高等數學告訴我們∫exp(-x2)dx是不能進行積分的.這也是很多同學在考場上感到困惑的地方！

二、下面介紹三種解決方案

1.概率統計法

由正態分布公式及相關性質有

∫+∞-∞12π#8226;σexp-(x-μ)22σ2dx=1，-∞

若此處令σ2=12，μ=0，

則∫+∞-∞112×2πexp(-x2)dx=1，-∞

∴∫+∞-∞exp(-x2)dx=π.

2.高等數學法

設D1={(x，y)|x2+y2=R2，x≥0，y≥0}，D2={(x，y)|x2+y2=2R2，x≥0，y≥0}，S={(x，y)|0≤x≤R，0≤y≤R}，顯然D1SD2.

如圖1，由于exp(-x2-y2)>0，從而在這些區域上的二重積分滿足關系：

∫∫D1exp(-x2-y2)dxdy<

∫∫Sexp(-x2-y2)dxdy<

∫∫D2exp(-x2-y2)dxdy.

(**)

∵∫∫Sexp(-x2-y2)dxdy=∫R0exp(-x2)dx∫R0exp(-y2)dy

=∫R0exp(-x2)dx2，

又設D是中心在原點、半徑為r所圍成的閉區域，如圖2所示，則對二重積分式∫∫Dexp(-x2-y2)dxdy應用于極坐標，閉區域D可表示為0<ρ

∫∫Dexp(-x2-y2)dxdy

=∫∫Dexp(-ρ2)ρdρdθ=∫2π0［∫r0exp(-ρ2)ρdρ］dθ

=12［1-exp(-r2)］∫2π0dθ=π#8226;［1-exp(-r2)］.

因此，由已得結果有

∫∫D1exp(-x2-y2)dxdy=π4［1-exp(-R2)］，

∫∫D2exp(-x2-y2)dxdy=π4［1-exp(-2R2)］，

∴（**）式可寫為

π4［1-exp(-R2)］<(∫R0exp(-x2)dx)2

<π4［1-exp(-2R2)］.

令R→∞，顯然上式兩端取同一積分π4 ， 從而

∫+∞0exp(-x2)dx=π2.

由exp(-x2)為偶函數，可得∫+∞-∞exp(-x2)dx=π.

3.工程應用的近似解

因為該積分無法用閉合形式計算，所以在工程應用中，一般將該積分與一些可以在數學手冊上查出函數值的特殊函數聯系起來計算.

因此，若了解工程上定義的誤差函數

erf(x)=2π∫x0exp(-t2)dt，

通過查表可得結果.它是自變量的遞增函數，且erf(0)=0，erf(+∞)=1，即∫+∞-∞exp(-x2)dx=π.

最后，作為知識的延伸，補充在工程中誤差函數的近似求解.

在工程應用中，當x≥3時，

erf(x)=2π∫x0exp(-t2)dt≈1-1πxe-x2.

所以無論上述哪種解決方案都可得（*）式結果為1=Aπ，即A=π-1.

三、結 語

此題在2010年碩士研究生考題中算是一道難題，據網上反饋的信息，很多同學沒能得出正確結果，關鍵一點是不熟悉∫+∞-∞exp(-x2)dx.也給即將考研的同學一個提醒：學習過程中應善于總結和探索.

試題（2010.1α）：節選自2010年全國碩士研究生考試數學——試題.