關(guān)于四色猜想的人工證明

【摘要】從圖論解讀的世界地圖上歸納出四種子圖，在對圖形進(jìn)行點著色后，發(fā)現(xiàn)它們需要的色數(shù)恰和世界地圖對應(yīng)、恒等和同構(gòu)，從而使四色猜想獲證；若對子圖進(jìn)行對稱操作，可獲得該圖明確的著色數(shù)，這是因為不同的對稱圖形各由自身獨特的對稱操作決定的.因為子圖和世界地圖一一對應(yīng)、恒等而同構(gòu)，故四色猜想獲證.五色可著遍世界各國，但世界地圖只需四著色，故本文用實例以排斥法否認(rèn)平面圖上存在五國（或更多國）互鄰.因此，世界地圖四著色成立.

【關(guān)鍵詞】包圍理論；色多項式；子圖；同步交替律；對稱元素；對稱操作；同構(gòu)

一、引 言

1840年，德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯提出類似四色的問題.1850年英國葛瑞斯兄弟認(rèn)為，繪制地圖時，相鄰兩國必須著異色以示區(qū)別，四種顏色足夠.直到1976年，美國人阿佩爾和哈肯終于借助計算機證明了四色猜想.此證明雖有漏洞，但其偉大成就不容置疑.

一百多年來，世界一流專家學(xué)者以及廣大愛好者為尋覓人工證明殫精竭慮卻久攻不獲.今作者不惴冒昧，斗膽向四色猜想挑戰(zhàn)，提供下列人工證明，若文中立論錯誤，理應(yīng)推翻，若措詞欠當(dāng)，敬請專家指教修改.

二、正 文

雖然地球是一個橢圓形球體，但球面世界地圖和平面世界地圖拓?fù)涞葍r.通過對平面世界地圖長期的觀察、分析和研判，終于揭示出一條“包圍理論”，即世界上任何一個內(nèi)陸國家可以被周圍鄰國包圍，沿海國家則被鄰國和海洋包圍，而島國則被海洋包圍，三者必居其一，這或許是一條定理.圖論的解讀是任一內(nèi)陸國家，被一國（或兩國）包圍只形成短線段或三員環(huán).只有當(dāng)它被三國（或更多）的鄰國包圍時才形成鄰圈.故島國只形成點或短線段，沿海國家形成線段或環(huán)，內(nèi)陸國家被三個（或更多）國家包圍時可形成中心對稱的圈.作者已用抽屜原理，對南北美洲地圖分析、比對后，其分類結(jié)果也相同，余可類推.由此可知平面世界地圖是由點、線段、環(huán)和中心對稱的圈這四種子圖混合拼合而成的圖形.這就將四色猜想化繁為簡，成為位置幾何學(xué)中的一個證明題.個別特例也易處理，絕不會影響四色猜想的證明.

對色數(shù)的研究獲知，若用阿拉伯?dāng)?shù)字代表四色，則色多項式共有十二種，即（1-2-1）（1-2-3）（1-2-4）（2-1-2）（2-1-3）（2-1-4）（3-1-2）（3-1-3）（3-1-4）（4-1-2）（4-1-3）（4-1-4），著色時，周而復(fù)始，循環(huán)無窮，取之不盡，用之不竭.若用貪心著色法相向著色，出現(xiàn)同色對接矛盾，可用替代、傳遞和對應(yīng)等數(shù)學(xué)手段，局部改變色序解決.

分析子圖，島國作為點，僅著一色（島國群的著色原則類似大陸國家，擱置另議）.對于沿海國家作為線段，不論長短其色數(shù)為2，再長的線段，點的性質(zhì)只分奇偶兩種，為減少色數(shù)的使用，必須符合奇點、偶點和兩種異色同步交替的規(guī)律.若為多員環(huán)，則偶環(huán)色數(shù)為2，而奇環(huán)色數(shù)為3，因為環(huán)的首尾兩點不可同色對接，必另加一色.內(nèi)陸國形成中心對稱的偶圈，色數(shù)為3，而中心對稱的奇圈色數(shù)為4，因為圖上點的種類僅三種，即奇點、偶點、頂點，著三色，唯圈上首尾兩點不可同色對接，必另加一色，共四色.這是色數(shù)上界.凡中心對稱的奇圈，不論圈上點的增多，或圈的面積無限增大，它必須符合奇偶異色同步交替律，故它所需要的色數(shù)和最小中心對稱的奇圈（即四國互鄰），色數(shù)相同都是4.由于世界地圖和子圖一一對應(yīng)，兩者恒等、同構(gòu)，所以對它著色時，需要的色數(shù)也必≤4.歸納以上討論，應(yīng)可斷言，可平面化地圖均四色，從而命題獲證.

世界地圖和它的子圖都是用線連接點的集合，它們必須受下列條件制約：1.圖的平面性.2.圖中連續(xù)的點有奇偶性.3.包圍理論，使圖簡單化.4.圖的元素僅點、線和面三種.5.圖無度量性.6.圖必具有對稱性.在這6種條件制約下，世界地圖的構(gòu)形從633種立減為4種，即點、線段、環(huán)和中心對稱的圈.子圖簡單清晰，但和世界地圖是對應(yīng)的.可利用對子圖圖形進(jìn)行對稱操作后，所提供的著色信息必和世界地圖等價.下面試從對稱元素組成四類對稱圖形，進(jìn)行對稱操作，判斷著色時需要多少色數(shù)，以此證明四色猜想.

在研究圖形時，應(yīng)略去它的度量性質(zhì)，而對點與線形成的幾何圖形，點的奇偶性，點的種類和在圖形中的位置，特別是圖形的對稱性、對稱操作，應(yīng)重點探究.分析世界地圖的子圖時，發(fā)現(xiàn)圖都有對稱性，且可進(jìn)行對稱操作，這對圖形的點著色提供了信息.

在圖中作為一個點，進(jìn)行對稱操作E，它是恒等元素，無疑只著一色.凡線段都有C2對稱軸，可進(jìn)行C2對稱操作，線段不論長短，為了減少色數(shù)，必遵循奇偶異色同步交替律，對線段著二色即可.由點、線組成平面如環(huán)（三員環(huán)或多員環(huán)），它們都有垂直于該平面的高次（奇次或偶次)旋轉(zhuǎn)軸，可繞軸旋轉(zhuǎn)，進(jìn)行Cn對稱操作，這就可確定圖形應(yīng)著三色或兩色，或在倒反時，若圖形被改變者，需著三色，反之則著二色.即奇環(huán)著三色，偶環(huán)著二色.同理，對中心對稱的圈，除了符合成環(huán)著色理論外，和環(huán)不同的是它們的對稱中心是一個實點（一個內(nèi)陸國家），必須比對應(yīng)的環(huán)多著一色，即應(yīng)著四色或三色.總之，著四色者，其圖形一定有C奇數(shù)主旋轉(zhuǎn)軸，對稱中心是一個實點，或倒反時其圖形被改變才能確認(rèn).若圖形有C偶數(shù)主旋轉(zhuǎn)軸，雖有實點對稱中心，但它倒反時，圖形并不改變，著三色即可.

綜上所述，三個對稱元素構(gòu)成的對稱圖形雖千變?nèi)f化，但萬變不離其宗.世界地圖僅四種子圖，通過對稱操作后，可確定對子圖圖形進(jìn)行點著色時，需要的色數(shù)≤4.由于子圖的對稱性和世界地圖一一對應(yīng)，兩者恒等且同構(gòu)，故命題獲證.用對圖的對稱操作來證明四色猜想，在證法上是一種新的探索.

下面用反證法否定平面世界地圖上存在五國（或更多國）互鄰.如五星小妖，圖形中兩線相截，平面不容，且它有空中的點和異面直線.如正四面體，五點組成一個小實塊，Td群的圖形平面上不存在.又如三角雙錐，若其C3主軸在平面上，其對稱面必垂直并截取紙面，它屬D3d群.上述三種幾何圖形都是立體的，所以在平面上絕不存在，這亦證明平面世界地圖四著色成立.

三、結(jié) 果

歸納法和用對稱點群推導(dǎo)出的子圖圖形通過對稱操作，獲得的色數(shù)和世界地圖等價，因兩者的圖形一一對應(yīng)、恒等、同構(gòu)，所需色數(shù)都≤4，故命題獲證.

另外，用反證法，也證明世界地圖四著色成立.

四、結(jié) 語

本文發(fā)現(xiàn)了包圍理論、圖的對稱性、對稱操作，總結(jié)出奇偶異色同步交替律，共提供三款常規(guī)人工證明.第一款證明是從地理學(xué)、地圖學(xué)中歸納后，推導(dǎo)出幾何圖形，并從圖形上點的性質(zhì)和種類，從而給出圖形色數(shù)≤4，從而使命題獲證.第二款證明是從三種對稱元素，推導(dǎo)出四種圖形，通過對圖形的對稱操作，獲知圖形在點著色時，需要的色數(shù)≤4.由于子圖和世界地圖恒等且同構(gòu)，使命題再次獲證.而第三款證明是利用反證法，否認(rèn)平面世界地圖存在五國（或更多國）互鄰，從而世界地圖四著色成立.

三款證明互相印證，真可謂異曲同工又殊途同歸.因此發(fā)現(xiàn)四色猜想原來是一題多證的命題.

大可不必再用點和線來重畫一張世界地圖了，數(shù)學(xué)史早就記載過.1850年，英國葛瑞斯兄弟倆用四色成功染遍世界各國，面著色和點著色是對偶的，他們在辦公室辛勤代勞，亦可作為一次四色猜想的實驗證明.

這就是四色猜想之精髓，亦即四色猜想獲證的理論根據(jù)和證因.

拒絕使用計算機是不明智的，但人腦的思維空間和想象力是無限的.只有兩者結(jié)合，才能解決難題.本文的三例手工證明，說明邊緣學(xué)科難題的求證，必須應(yīng)用新的數(shù)學(xué)方法與手段，化難為易，方能出奇制勝，這也彰顯了純粹數(shù)學(xué)迷人的無窮魅力.

五、展 望

四色猜想是圖論、甚至整個數(shù)學(xué)中最難的問題之一.本文若被確認(rèn)，那不但豐富了圖論的內(nèi)容，也給世界數(shù)學(xué)史增添了華彩的篇章.

包圍理論、圖的對稱性、對稱操作和同步交替律的發(fā)現(xiàn)、四色猜想證因的揭示，其理論意義影響深遠(yuǎn)，在民航飛行安全的空域頻率覆蓋方面已獲應(yīng)用，余尚待繼續(xù)深入探索和開發(fā).

致 謝

對電子科技大學(xué)的顧駿驊、蘇州科技學(xué)院的張婧嫣，在提供資料及文字整理方面的協(xié)助，在此一并致謝.

【參考文獻(xiàn)】

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