非線性系統實用穩定性判別的不等式方法

【摘要】將非線性系統以及非線性時滯系統化為系分量函數矩陣的形式，根據不等式性質及單調性準則，利用向量Lyapunov函數方法得到簡便的實用穩定性條件，這些條件僅與系分量函數矩陣有關，易于直接驗證.

【關鍵詞】實用穩定；分量函數；Lyapunov函數；非線性系統

1.引 言

隨著現代科學技術的飛速發展，數學方法正日益廣泛地用于各種科技領域，并建立了許多數學模型描述各種現實客體，這其中的一個中心問題就是研究動力系統的穩定性.由A.M.李雅普諾夫在哈爾克夫工作期間（1885-1902年）所創立的運動穩定性的理論基礎，后來得到迅速的發展，并涉及理論與應用的諸多方面.而實用穩定性理論則是現代運動穩定性理論的研究方向之一.運動實用穩定性理論的主要任務是研究在規定的時間區間（有限的或是無限的時間區間）內，具有預先給定的初始估計區域與隨后估計區域的運動.

實用穩定性概念可以較好地解決Lyapunov穩定概念的定性描述與實際中的定量要求不符合的矛盾.實際情況是：根據一定的需要，系統的運動狀態只要保持在預定的范圍就可以了.這正是實用穩定性所要求的運動狀態.

文獻［3］~［5］運用不等式性質及單調性準則，利用向量V函數方法得到線性系統以及線性時滯系統的簡便的實用穩定性條件.本文則將這種方法推廣到一種非線性系統中，得到了這種非線性系統實用穩定性的條件.這些條件僅與系分量函數矩陣有關，易于直接驗證.

2.相關的符號和定義

定義1 稱以X的各分量為自變量的多元連續函數k(x1，x2，…，xn)為X的分量函數，記為k(X)；稱以X的分量函數為元素的n×n的方陣K(X)=(kij(X))n×n為分量函數矩陣.

注 常數矩陣K是分量函數矩陣的特殊情況.

定義2 如果非線性定常系統可表示為：

X#8226;=a11(X)x1+a12(X)x2+…+a1n(X)xn

a21(X)x1+a22(X)x2+…+a2n(X)xn

an1(X)x1+an2(X)x2+…+ann(X)xn，

其中apq(X)(p，q=1，2，…，n)為X的分量函數，且當X=0時，apq(X)有意義，設分量函數矩陣A(X)=(aij(X))n×n，

則稱A(X)為系統的系分量函數矩陣，且系統可寫為

X#8226;=A(X)X.

（1）

以及其帶有時滯情況下的系統：

X#8226;=A(X)X(t)+B(X)X(t+r(t)).

（2）

其中-r≤r(t)≤0，r≥0為常數.

在給出上述系統的實用穩定性定義前，先給出一些記號：以T(i)表示系統的初始時刻集合，t0≥0表示初始時刻，t0∈T(i).對給定的常量α>0以及函數β(t)>0，β(t)有界且連續可微.又β(t0)>α，記x(t，t0，)為系統(2)滿足初始條件x(t0+θ)=(θ)(-r≤θ≤0)的解，其中：

∈C(［-r，0］，Rn)，β(t)=max-r≤r(t)≤0β(t+r(t))，

V(t)=max-r≤r(t)≤0V(t+r(t)).

規定估計區域：

初始偏差集合：Sα={x∈Rn，|x|<α}；

容許過程偏差集合：Sβ(t)={x∈Rn，|x(t)|<β(t)}.

時間區間：T0=［t0，τ)，其中τ可以是有限數，也可以是+∞.

則系統的關于這些集合的實用穩定定義如下：

定義3 如果對x0∈Sα，有x(t，t0，x0)∈Sβ(t)(t∈T)，則稱系統(1)關于{Sα，Sβ(t)，T0，t0}實用穩定.

定義4 如果當(θ)∈Sα(-r≤θ≤0)時，有x(t，t0，)∈Sβ(t)(t∈T0)，稱系統(2)關于{Sα，Sβ(t)，T0，t0}實用穩定.

定義5 如果對t0∈T(i)，當(θ)∈Sα(-r≤θ≤0)時，有x(t，t0，)∈Sβ(t)(t∈T0)，則稱系統(2)關于{Sα，Sβ(t)，T(i)}實用一致穩定.

其中α=(α1，α2，…，αn)T>0是常向量，β(t)=(β1(t)，β2(t)，…，βn(t))T>0并且有α<β(t0).這些集合分別反映了系統的運動區間以及所能容許的初始干擾強度和過程狀態與標稱運動狀態的偏差范圍，在具體問題中事先給定.

3.主要結果

下面分別對兩種系統給出判定實用穩定的簡明判據:

3.1 非線性系統X#8226;=A(X)X的實用穩定性

定理1 如果對給定(α，β(t))，滿足不等式：

β#8226;(t)>A(t)β(t)，t∈T.

其中：A(t)=maxX(t)aii(X(t))，i=j，

maxX(t)|aij(X(t))|，i≠j，i，j=1，2，…，n，

則此上述系統關于{Sα，Sβ(t)，T，t0}實用穩定.

證明 假設結果不成立，則必有x0∈Sα和t1∈T以及1≤S≤n，使x(t)∈Sx(t)(t∈［t0，t1))，

且|xS(t1)|=βS(t1).

(3)

因而，取向量函數V(k)=（v1，v2，…，vn）T，其中

vi(k)=|xi(k)|.

則由(1)，得

D-Vi(t)=sgnxi(t)#8226;x#8226;i(t)

≤|ai1(X)||x1|+|ai2(X)||x2|+…+aii(X)|xi|+…+|ain(X)||xn|

≤ai1(t)|x1|+ai2(t)|x2|+…+aii(t)|xi|+…+

ain(t)|xn}，

即D-V(t)≤A(t)V(t)，由此可得V(t1)<β(t1).

事實上，若有V(t1)=β(t1)成立，則

D-V(t1)≤A(t)V(t1)≤A(t)β(t1)

(4)

另一方面：取h>0，對于V(t1)-V(t1-h)h與β(t1)-β(t1-h)h，但V(t1)=β(t1)，V(t1-h)≤β(t1-h)，當h→0時，有D-V(t1)>D-β(t1)，與(4)式矛盾.

故有V(t)<β(t)，t∈［t0，t1］成立.

進而|x(t)|=V(t1)<β(t1)，從而|xS(t1)|=VS(t1)<βS(t1).

與(3)式矛盾，定理得證.

3.2 非線性時滯系統:X#8226;=A(X)X+B(X)#8226;X(t-r(t))的實用穩定性

定理2 如果對給定(α，β(t))，滿足不等式β#8226;(t)>A(t)β(t)+β(t)β(t)，

其中，

A(t)=maxX(t)aii(X(t))，i=j，

maxX(t)|aij(X(t))|，i≠j，i，j=1，2，…，n，

B(t)=maxX(t)|bij(X(t))|，i，j=1，2，…，n，

則系統（2）關于{Sα，Sβ，T，t0}實用穩定.

證明 假設結果不成立，則必有x0∈Sα和t1∈T以及1≤S≤n，使x(t)∈Sx(t)(t∈［t0，t1))，

且|xS(t1)|=βS(t1).

(5)

因而，取向量函數V(k)=（v1，v2，…，vn）T，其中vi(k)=|xi(k)|.證明同定理1.

4.實例驗證

例 考慮系統1=-x2-1(1-x22)x1，

2=x1-1(1-x21)x2對于α=(0.1，0.1)T，β=(1，1)的實用穩定性.

解 如定理1，我們取A(t)=-21

1-2，那么，β#8226;(t)=0

0，A(t)=-21

1-21

1=-1

-1，故β#8226;(t)>A(t)β(t)，系統是實用穩定的.

5.結 語

實用穩定性是近年來剛剛興起的一門科學，但是其用處非常廣泛.因為在實際中同漸近穩定相比較，人們更期望的是完全穩定性.實用穩定性的概念更切合實際地反映出所研究過程的本質.

【參考文獻】

［1］阿#8226;阿#8226;瑪爾德紐克，孫振綺.實用穩定及其應用.科學出版社，2004.

［2］楚天廣.哈爾濱：哈爾濱工業大學.

［3］楚天廣，王照林.小參數時變非線性系統的技術穩定性.應用數學和力學，2001，21(11)：1140-1146.

［4］楚天廣，張宗達，孫振綺.線性時滯系統和時滯大系統的實用穩定性.科學通報，1990：568-571.

［5］楚天廣，張宗達.時滯系統解的有界性、穩定性與漸進階.哈爾濱工業大學學報，1995，27(4)：1-4.

［6］陳雪波，徐望寶，李小華.非線性系統零解穩定性判定的廣義二次型方法.控制與決策，2007，22(1)：81-84.