數(shù)學(xué)軟件Mathematica在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

【摘要】把計算機和數(shù)學(xué)軟件引入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，進行多媒體教學(xué)實踐是提高教學(xué)質(zhì)量的重要措施.文章主要探討數(shù)學(xué)軟件Mathematica的功能在高等數(shù)學(xué)微積分教學(xué)和圖形中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】Mathematica；極限；導(dǎo)數(shù)；積分；圖形

一、引 言

面對高職學(xué)生，幾乎所有學(xué)生反映高等數(shù)學(xué)是抽象、運算復(fù)雜難理解的，使得學(xué)生難學(xué)老師難教.如何將復(fù)雜的運算與計算機結(jié)合，使之變得更具體容易理解，真正降低學(xué)習(xí)難度，是高校教師長期致力解決的問題.而Mathematica是美國伊利諾大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)研究中心主任、物理學(xué)、數(shù)學(xué)和計算機科學(xué)教授Stephen Wolfram負責(zé)研制的，Mathematica不僅可以進行基礎(chǔ)的計算，而且可以進行圖像處理，我們可以利用Mathematica的數(shù)學(xué)運算函數(shù)來計算極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分和定積分，并可利用Mathematica強大的圖形處理功能繪制二維和三維函數(shù)圖形，展示了Mathematica在高等數(shù)學(xué)微積分教學(xué)和計算中的應(yīng)用.

二、數(shù)學(xué)軟件Mathematica在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1.用Mathematica計算極限

Mathematica系統(tǒng)中，求極限的語言是“Limit［函數(shù)，自變量-〉數(shù)值或∞］”.

例1 某儲戶將10萬元的人民幣以活期的形式存入銀行，假設(shè)年利率為5%，如果銀行允許儲戶在一年內(nèi)可任意次結(jié)算，在不計利息稅的情況下，若儲戶等間隔地結(jié)算n次，每次結(jié)算后將本息全部存入銀行，問：一年后該儲戶的本息和是多少？隨著結(jié)算次數(shù)的無限增加，一年后該儲戶是否會成為百萬富翁？

分析 若每年計息一次，那么本利和為100000(1+0.005).

若每年計息兩次，那么本利和為1000001+0.00522.

若每年計息三次，那么本利和為1000001+0.00533.

若每年計息n次，那么本利和為1000001+0.005nn.

隨著結(jié)算次數(shù)的無限增加，即n→∞，故一年后本息共計：limn→∞1000001+0.005nn.

輸入：Limit［1000001+0.005nn，n-〉∞］.

輸出：100501.

即一年后該儲戶不會成為百萬富翁.

2. 用Mathematica計算導(dǎo)數(shù)

Mathematica系統(tǒng)中，求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)為：“D［函數(shù)f［x］，自變量x］”用于求函數(shù)f［x］的一階導(dǎo)數(shù)；“D［函數(shù)f［x］，{自變量x，階數(shù)n}］”用于求函數(shù)f［x］的n階導(dǎo)數(shù).

例2 某商店每年銷售某種商品a件，每次購進的手續(xù)費為b元，而每件的庫存費為c元，在該商品均勻銷售情況下，商店應(yīng)分幾批購進商品才能使所花手續(xù)費及庫存費之和為最小？

分析 在均勻銷售情況下，商品庫存量僅需年銷售量的一半，即a2件.設(shè)總費用為y，共分x批購進，手續(xù)費為bx，每批購進的件數(shù)為ax，庫存費為ac2x，則y=bx+ac2x，令y′=b-ac2x2=0，得x=ac2b（負值舍去）.

又 y″=b-ac2x2′=acx3>0，所以x=ac2b為極小值.

輸入：Clear［x，a，b，c］；

f［x］:=b*x+a*c/(2x)

f1=D［f［x］，x］

Solve［f1==0，x］

D［f［x］，{x，2}］.

輸出：b-ac2x2

x→-ac2b，x→ac2b

acx3

3.用Mathematica計算積分

在Mathematica系統(tǒng)中，求不定積分的函數(shù)為“Integrate［函數(shù)f［x］自變量x］”，求定積分的函數(shù)為Integrate［函數(shù)f［x］{積分變量x，下限a，上限b}］.求函數(shù)f ［x］的不定積分和定積分也可利用操作平臺輸入成數(shù)學(xué)形式.

例3 用Mathematica求∫xarctanxdx.

輸入：Integrate［xarctan［x］，x］.

輸出：12(-x+(1+x2)arctan［x］).

（或者）輸入：∫x*arctan［x］dx.

輸出：12(-x+(1+x2)arctan［x］).

例4 用Mathematica求∫10x21-x2dx.

輸入：Integrate［x21-x2，{x，0，1}］.

輸出：π16.

（或者）輸入：∫10x21-x2dx.

輸出：π16.

4.用Mathematica作圖形

在Mathematica系統(tǒng)中，畫f在［xmin，xmax］上的圖形為“Plot［f，{x，xmin，xmax}］”，畫list的散點圖為“ListPlot［list，{n，nmin，nmax}］”，畫參數(shù)方程平面圖為“ParametricPlot［{x(t)，y(t)}，{t，tmin，tmax}］”，畫f的三維圖為“Plot3D［f，{x，xmin，xmax}，{y，ymin，ymax}］”，畫參數(shù)方程曲面圖為“ParametricPlot［{x(u，v)，y(u，v)}，{u，umin，umax}，{v，vmin，vmax}］”.

例5 繪制函數(shù)x=sint，

y=2cost，

z=t2的圖形.

輸入：ParametricPlot3D［{sin［t］，2*cos［t］，t/2}，{t，0，12}］.

輸出：

例6 已知z=cos(x+y)，畫出它的圖形.

輸入：Plot3D［cos［x+y］，{x，-Pi，Pi}，{y，-Pi，Pi}］.

輸出：

三、結(jié)束語

高等數(shù)學(xué)中關(guān)于函數(shù)求導(dǎo)、求極限、求積分(包括不定積分和定積分)、微分方程和多元函數(shù)極值等問題構(gòu)成了高等數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)和計算的一個重點和難點，運用Mathematica計算機輔助教學(xué)，可培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)運用數(shù)學(xué)工具進行各種工程設(shè)計和借助于計算機解決問題的興趣.

【參考文獻】

［1］彭涓，王慶嶺.數(shù)學(xué)應(yīng)用與實踐［J］.北京：中國鐵道出版社.

［2］侯風(fēng)波.工科高等數(shù)學(xué)［J］.沈陽：遼寧大學(xué)出版社.

［3］高職數(shù)學(xué)應(yīng)用基礎(chǔ)［M］.長沙：湖南師范大學(xué)出版社.