函數的對稱性初探

函數是中學數學教學的主線，是中學數學的核心內容，也是整個高中數學的基礎.函數的性質是競賽和高考的重點與熱點，函數的對稱性是函數的一個基本性質，對稱關系不僅廣泛存在于數學問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關系還充分體現了數學之美.本文擬通過函數自身的對稱性和不同函數之間的對稱性這兩個方面來探討與函數的對稱有關的性質.

一、函數自身的對稱性探究

定理1 函數y=f(x)的圖像關于點A(a，b)對稱的充要條件是f(x)+f(2a-x)=2b.

證明 （必要性）設點P(x，y)是y=f(x)圖像上任一點.

∵點P(x，y)關于點A(a，b)的對稱點P′（2a-x，2b-y）也在y=f(x)圖像上，

∴2b-y=f(2a-x)，即y+f(2a-x)=2b.

故f(x)+f(2a-x)=2b，必要性得證.

（充分性）設點P(x0，y0)是y=f(x)圖像上任一點，

則y0=f(x0).

∵f(x)+f(2a-x)=2b，

∴f(x0)+f(2a-x0)=2b，即2b-y0=f(2a-x0).

故點P′（2a-x0，2b-y0）也在y=f(x)圖像上，而點P與點P′關于點A(a，b)對稱，充分性得征.

推論 函數y=f(x)的圖像關于原點O對稱的充要條件是f(x)+f(-x)=0.

定理2 函數y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱的充要條件是f(a+x)=f(a-x)，即f(x)=f(2a-x).（證明留給讀者）

推論1 函數y=f(x)的圖像關于y軸對稱的充要條件是f(x)=f(-x).

推論2 函數y=f(x)的圖像關于x=a+b2對稱的充要條件是f(a+x)=f(b-x).

定理3 ①若函數y=f(x)的圖像同時關于點A(a，c)和點B(b，c)成中心對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數，且2|a-b|是其一個周期.

②若函數y=f(x)的圖像同時關于直線x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數，且2|a-b|是其一個周期.

③若函數y=f(x)的圖像既關于點A(a，c)成中心對稱，又關于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數，且4|a-b|是其一個周期.

①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：

∵函數y=f(x)的圖像關于點A(a，c)成中心對稱，

∴f(x)+f(2a-x)=2c，用2b-x代x，得

f(2b-x)+f［2a-(2b-x)］=2c.

（*）

又 ∵函數y=f(x)的圖像關于直線x=b成軸對稱，

∴f(2b-x)=f(x)，代入（*），得

f(x)=2c-f［2(a-b)+x］.

（**）

用2（a-b）-x代x，得

f［2(a-b)+x］=2c-f［4(a-b)+x］.

代入（**），得f(x)=f［4(a-b)+x］.

故y=f(x)是周期函數，且4|a-b|是其一個周期.

二、不同函數的對稱性探究

定理4 函數y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖像關于點A(a，b)成中心對稱.

定理5 ①函數y=f(x)與y=f(2a-x)的圖像關于直線x=a成軸對稱.

②函數y=f(x)與a-x=f(a-y)的圖像關于直線x+y=a成軸對稱.

③函數y=f(x)與x-a=f(y+a)的圖像關于直線x-y=a成軸對稱.

定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現證定理5中的③.

設點P(x0，y0)是y=f(x)圖像上任一點，則y0=f(x0).

記點P(x，y)關于直線x-y=a的軸對稱點為P′（x1，y1），

則x1=a+y0，y1=x0-a，∴x0=a+y1，y0=x1-a，

代入y0=f(x0)之中，得x1-a=f(a+y1).

∴點P′（x1，y1）在函數x-a=f(y+a)的圖像上.

同理可證：函數x-a=f(y+a)的圖像上任一點關于直線x-y=a的軸對稱點也在函數y=f(x)的圖像上.故定理5中的③成立.

推論 函數y=f(x)的圖像與x=f(y)的圖像關于直線x=y成軸對稱.

三、三角函數圖像的對稱性列表

四、函數的對稱性應用舉例

例1 如果f(x)=x2+bx+c對任意實數t都有f(t+2)=f(2-t)，那么（）.

A.f(2)

C.f(2)

解 由f(t+2)=f(2-t)可知f(x)的對稱軸為x=2，

∴f(x)在［2，+∞）上單調遞增，∴f(2)

又 f(1)=f(2×2-1）=f(3)，

∴f(2)

例2 定義在R上的非常數函數滿足f(10+x)為偶函數，且f(5-x)=f(5+x)，則f(x)一定（）.

A.是偶函數，也是周期函數

B.是偶函數，但不是周期函數

C.是奇函數，也是周期函數

D.是奇函數，但不是周期函數

解 ∵f(10+x)為偶函數，∴f(10+x)=f(10-x).

∴f(x)有兩條對稱軸x=5與x=10，

∴f(x)是以10為其一個周期的周期函數，∴x=0即y軸也是f(x)的對稱軸，因此f(x)還是一個偶函數.

故選A.

例3 設定義域為R的函數y=f(x)，y=g(x)都有反函數，并且f(x-1)和g-1(x-2)函數的圖像關于直線y=x對稱，若g(5)=1999，那么f(4)等于（）.

A.1999 B.2000 C.2001 D.2002

解 ∵y=f(x-1)和y=g-1(x-2)函數的圖像關于直線y=x對稱，

∴y=g-1(x-2)的反函數是y=f(x-1).

而y=g-1(x-2)的反函數是y=2+g(x)，

∴f(x-1)=2+g(x)，∴有f(5-1)=2+g(5)=2001.

故f(4)=2001，應選C.

例4 設f(x)是定義在R上的偶函數，且f(1+x)=f(1-x)，當-1≤x≤0時，f(x)=-12x，則f(8.6)= .

解 ∵f(x)是定義在R上的偶函數，

∴x=0是y=f(x)的對稱軸.

又 ∵f(1+x)=f(1-x)，

∴x=1也是y=f(x)的對稱軸.

故y=f(x)是以2為周期的周期函數.

∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3.

例5 函數y=sin2x+5π2的圖像的一條對稱軸的方程是（）.

A.x=-π2B.x=-π4C.x=π8D.x=5π4

解 函數y=sin2x+5π2的圖像的所有對稱軸的方程是2x+5π2=kπ+π2，∴x=kπ2-π，顯然取k=1時的對稱軸方程是x=-π2.故選A.

例6 設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x+2)=-f(x)，當0≤x≤1時，f(x)=x，則f(7.5)等于（）.

A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5

解 ∵y=f(x)是定義在R上的奇函數，

∴點（0，0）是其對稱中心.

又 ∵f(x+2)=-f(x)=f(-x)，即f(1+x)=f(1-x).

∴直線x=1是y=f(x)的對稱軸，故y=f(x)是周期為2的周期函數.

∴f(7.5)= f(8-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.

故選B.