示率及其在商務管理中的應用

摘 要:在100多年以來一直支撐著現代數學發展的Contor集合理論的基礎上，建立了定量化處理模糊信息的一種新工具——示率(illustratability)理論的初步框架。然后，將示率理論應用于商務管理中的兩個例子，表明示率理論可以合理地處理模糊信息，處理所得結果符合人類的認知。

關鍵詞:管理；計算機；模糊信息；示率

中圖分類號：C93 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4117（2011）07-0116-02

一、引言

任何重大決策都不可避免地涉及到一些不確定信息，因而，有效地對不確定信息進行處理是決策科學化的前提。在各種定量處理不確定信息的理論中，影響最廣泛的應當首推概率論和Fuzzy集合理論。概率論針對的是隨機信息，已經形成了比較完善的理論體系。Fuzzy集合理論則針對模糊信息。模糊信息是比隨機信息更加普遍存在的一類不確定信息，最終建立起完善的可以有效地處理模糊信息的理論的研究工作似乎也更加艱難。L.A.Zadeh在上一世紀60年代中期舉起了Fuzzy集合理論的大旗，隨后的將近半個世紀以來，在Fuzzy集合理論的旗幟下，集結了一支相當龐大的、來自許多國家的學者組成的研究隊伍。這支大軍披荊斬棘，在眾多的應用領域獲得了一些相當有成效的結果，這是不容否認的事實。L.A.Zadeh及其一些追隨者的功績是不可磨滅的。同樣是不容否認的另一方面事實卻是：Fuzzy集合理論存在著兩大缺撼！首先是，Fuzzy集合理論試圖推廣Contor集合理論并使Contor集合理論僅僅作為它的一個特例，但頗具諷刺意義的情況是，迄今為止的所有基于Fuzzy集合理論的實際應用，最終都是歸結為在建立于Contor集合理論之上的數學理論的框架內解決問題。其次是，Fuzzy集合本身的定義是不完善的，Fuzzy集合僅僅是由類比特征函數的隸屬函數規定的。試圖以集合的方式描述模糊信息卻又給不出集合形態的Fuzzy集合的定義，L.A.Zadeh的這種權宜之計式的發明被其追隨者們奉為圣經而沿用至今。難怪資深學者感慨：“至今世界上那么多從事模糊數學研究的人，沒有一個見過模糊集”。很顯然，以探索能夠有效地定量化處理模糊信息的科學工具為己任的勇士們，仍然艱難地跋涉在荊棘叢生的荒野中。

本文試圖建立能夠有效地定量化處理模糊信息的工具——示率(illustratability)理論的初步框架，示率理論是奠基于100多年以來一直在支撐著現代數學發展的Contor集合理論之上的。在此基礎上，通過將示率理論應用于描述商務管理中的兩例模糊現象，表明示率理論可以合理地處理模糊信息，處理所得結果符合人類的認知。

二、示率理論的初步框架

本文規定以U代表論域，U可以是單個Contor集，也可以是數個Contor集的直積，即U=U1×U2×…×Ul×…×Un，1≤l≤n，n為正整數，而U1均為Contor集。人類的認知總是首先根據各種感覺信息形成初步的概念，并對此進一步加工處理，再進行推理、決策。因此，計算機輔助決策的研究可以從對概念的定量化刻劃著手。

定義2.1設U為論域，N為一個概念，對U中的每一個元素u∈U賦予唯一實數，記之為(N)(u)，若(N)(u)滿足下列條件：

（1）對任意元素u∈U，必有0≤(N)(u)≤1；

（2）若元素u∈U完全可以表示N的內涵，則(N)(u)=1；

（3）若元素u∈U完全不可以表示N的內涵，則(N)(u)=0；

（4）對任意兩個元素u1，u2∈U，若u1比u2可以更好地表示N的內涵，則必有(N)(u1)＞(N)(u2)；

（5）對任意兩個元素u1，u2∈U，若u1與 u2可以同樣程度地表示N的內涵，則必有(N)(u1)=(N)(u2)，

實數(N)(u1)便被稱為元素u∈U關于N的示率(illustratability)。示率是無量綱的量，借以衡量元素u∈U可以表示概念N的內涵的程度。

定義2.2設U為論域，i為U到實數區間[0，1]的映射，即：

i:U→[0，1]，則直積[0，1]×U上的子集：{(i（u），u）/u∈U} ，稱為U上的一個示率模型，記之為(i)(u)；當論域明確時，可將之簡記為。映射i稱為U上的一個示率函數。

定義2.3論域U上的全體示率模型組成的集合稱為U上的示率模型集，記之為SIM(U)；當論域明確時，可將之簡記為SIM。

定義2.4對論域U上的示率模型集SIM的元素規定以下3種運算：

（1）和運算。若=SIM，則與之和記為+，并且規定

+={(max(i1(u)，i2(u))，u)/u=U}

（2）積運算。若，=SIM，則與之積記為*，并且規定

o={(max(i1(u)，i2(u))，u)/u=U}

（3）否運算。若=SIM，則之否記為-，并且規定

-={((1-i(u))，u)/u=U。

定理（示率模型集中的元素的運算性質）若，，=SIM（U），則

（1）冪等率+=，o=;

（2）交換率+=+，o=o；

（3）結合率(+)+=+(+)，(o)o=o(o)；

（4）吸收率+(o)=，o(+)=；

（5）分配率+(o)=(+)o(+)，o(+)=(o)+(+)；

（6）還原率；==

（7）對偶率(+)-=-o-，o-=(+)-。

定理的證明是簡單的，為節省篇幅，此略。

定義2.5設U為論域，N為一個概念，若=SIM并且滿足

Vu=U，i(u)=(u)，

則此時被稱為論域U上N的示率模型。論域U上N的示率模型規定記為(U)，當論域明確時，可簡記為。

注解：（1）一個概念N在論域U上的示率模型是唯一的，但論域U上的一個示率模型(i)(U)可能對應不同的概念。這和Contor集表示明晰概念的情形是類似的，一個明晰概念唯一地由一個Contor子集表示，但一個Contor子集可能對應不同的明晰概念。（2）論域U上的一個示率模型本質上是直積[0.1]×U上的子集，但示率模型集SIM(U)中的元素之間的運算遵從定義2.4，而不是通常的子集合之間的運算。

定義2.6設U為論域，N1，N2為兩個概念，則：（1）N1和N2=+；（2）=o；（3）<非N>=。

3在商務管理中的應用例子

例1 某服裝產家想開發一系列針對不同目標市場的休閑服裝，需要以年齡為變量對市

場進行細分。此時可取論域為U=[1，100]歲，其中涉及到“青年人”、“中青年人”和“中年人”等模糊概念。設u=35歲時，有：<青年人>(35歲)=0.6；<中青年人>(35歲)=1.0；<中年人>(35)歲)=0.4。

有時侯，人們將“中青年人”這一概念理解為包括從“青年人”到 “中年人”整個年齡段的所有人，對這種廣義上的理解有：<（廣義的）中青年人>(35歲)=<青年人>+<（狹義的）中青年人>+<中年人>(35歲)=max{0.6，1.0，0.4}=1.0。

可見，無論從狹義上還是從廣義上理解“中青年人”這一概念，示率理論都可以妥切地對其進行數量化刻劃。

例2 某市商業局要對本區域的轎車市場進行多指標的綜合評估。各種評估的變量中包

括“（純粹）甲國制造的車”、 “（純粹）乙國制造的車”和“多國混合制造的車”。 此時論域U即為本區域市場上的各種品牌的轎車。現有一個品牌的轎車u，其50%的零部件是甲國制造的，另外50%的零部件是乙國制造的，則：<（純粹）甲國制造的車>(u)=0.5；<（純粹）乙國制造的車>(u)=0.5；<多國混合制造的車>(u)=1.0。

而對于復合概念則有：<（純粹）甲國制造的車和（純粹）乙國制造的車>(u)=0.5； <（純粹）甲國制造的車且（純粹）乙國制造的車>(u)=1.5。

在集合論的描述中，“（純粹）甲國制造的車”和“（純粹）乙國制造的車”這兩個子集之交為空集。但示率模型描述的是對給定概念的內涵的表示程度。示率理論的這些數量化刻劃都是符合人們的實際認知的。

結束語：本文在100多年以來一直支撐著現代數學發展的Contor集合理論的基礎上，建立了能夠有效地定量化處理模糊信息的工具——示率理論的初步框架，并通過將示率理論應用于描述商務管理中的兩例模糊現象，表明示率理論的潛在的實際應用意義。示率理論的思想間接地萌發自無法在參考文獻中逐一羅列的、許多深為本文作者所敬佩的學者們的精辟見解或多少有失妥切的觀點。學術爭鳴是人類歷史上任何一門科學不斷發展的重要推動力之一。誠愿泰斗、大師和其他學者們器重示率這株新苗，傾心為之剪葉修枝、澆水施肥，使之得以茁壯成長！

作者單位：北京玻璃鋼研究設計院

作者簡介:歐陽能（1962— ），男，福建省人，教授級高工。目前的本職工作是從事高分子基復合材料工程的研究。利用業余時間研究：計算機輔助決策；商貿管理理論。

作者單位：

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].北京:高等教育出版社，2001.

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