梯形教學中常見的

梯形與平行四邊形一樣也是特殊的四邊形，但因為它只有一組對邊平行，這與平行四邊形相比，在輔助線的做法方面就有了較多的選擇余地，在解決相關題目時，我們往往利用輔助線將其分割，從而構造出例如平行四邊形、三角形等圖形，進而研究問題. 因此解決梯形的問題時，既要考慮到它與平行四邊形之間明顯的不同，又要學會利用平行四邊形去解決梯形中的相關問題. 而構造輔助線把梯形分割成平行四邊形及其他的圖形則是非常常見的方法，它在計算或證明有關邊、角、對角線、面積等有關問題時起到舉足輕重的作用. 本文就梯形問題中常見的輔助線方法向大家做以介紹.

方法一 做一腰的平行線，構造一個平行四邊形和一個三角形

例１ 如圖1，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｄ ＝ ２∠Ｂ，ＡＤ ＝ ａ，ＣＤ ＝ ｂ，求ＡＢ.

解 過點Ｃ做ＣＥ∥ＡD，交ＡＢ于點Ｅ.

∵ ＡＢ∥ＣＤ，ＣＥ∥ＡD，

∴四邊形ＡＥＣＤ是平行四邊形，

∴ ∠Ｄ ＝ ∠ＡＥＣ ＝ ２∠Ｂ，ＡＤ ＝ ＥＣ ＝ ａ，ＤＣ ＝ ＡＥ ＝ ｂ．

∵ ∠ＡＥＣ ＝ ∠Ｂ ＋ ∠ＥＣＢ，∴∠Ｂ ＝ ∠ＥＣＢ，∴ ＥＣ ＝ ＥＢ ＝ ａ.

∴ ＡＢ ＝ ＡＥ ＋ ＥＢ ＝ ａ ＋ ｂ.

這個題目是梯形中最常見的輔助線做法之一，尤其是等腰梯形，通過這個輔助線的做法可以得到一個等腰三角形和一個平行四邊形，進而利用平行四邊形及等腰三角形的相關知識解決問題，這也就成為了較普遍的一組輔助線做法，是要求學生必須掌握的.

經典練習題１ 等腰梯形的兩底之差為１２ ｃｍ，高為６ ｃｍ，則其銳角為＿＿＿＿.

經典練習題２ 梯形的兩底長分別為１６ ｃｍ和２４ ｃｍ，下底角分別是６０°和３０°，求較短的腰長.

方法二 作出梯形的高，構造直角三角形和矩形

例２ 如圖2，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ ＝ ４5°，∠Ｃ ＝ 120°，ＡＢ ＝ ８，求ＣＤ的長.

解 過點Ａ，Ｃ分別作ＡＥ⊥ＢＣ，ＣＦ⊥ＡD，垂足分別為點Ｅ，Ｆ.

∵ ＡＤ∥ＢＣ，ＡＥ⊥ＢＣ，ＣＦ⊥ＡD，

∴四邊形ＡＥＣＦ為矩形，∴ ＡＥ＝ＣＦ.

這也是梯形中最常見的輔助線做法之一，利用兩平行線間距離處處相等，就可以得到學生比較熟悉的一個矩形和兩個直角三角形，而矩形和直角三角形的性質在初中教學中是比較具體的，學生掌握的也比較好，所以利用這種輔助線將梯形進行分割，進而解決問題也是常見的方法，也要求學生熟練掌握.

經典練習題3 如圖3，等腰梯形ＡＢＣＤ中，AB∥DC，AD = DC = 10，∠DAB = 60°，求此梯形的面積.

經典練習題4 已知如圖3，在四邊形ＡＢＣＤ中，AD < BC，∠DBC = ∠ACB，AC = BD，求證：四邊形ＡＢＣＤ是等腰梯形．

方法三 過頂點做一條對角線的平行線，構造平行四邊形和三角形

例３ 如圖4，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，對角線ＡＣ⊥ＢＤ，且ＡＣ ＝ ５ ｃｍ，ＢＤ ＝ １２ ｃｍ，求該梯形的中位線長.

解 過點Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ交ＢＣ的延長線于點Ｅ.

∵ ＡＤ∥ＢＣ，ＤＥ∥ＡＣ，

∴ 四邊形ＡＣＥＤ為平行四邊形，∴ ＡＤ ＝ ＣＥ，ＤＥ ＝ ＡＣ ＝ ５ ｃｍ .

∵ ＡＣ⊥ＢＤ， ＤＥ∥ＡＣ，∴ＤＥ⊥ＢＤ.

在Ｒｔ△ＢＤＥ中，ＢＤ ＝ １２ ｃｍ，ＤＥ ＝ ５ ｃｍ.

∴ ＢＥ ＝ １３ ｃｍ，即ＣＥ ＋ ＢＣ ＝ １３ ｃｍ.

∴ ＡＤ ＋ ＢＣ ＝ １３ ｃｍ，∴ 這個梯形的中位線等于６．５ ｃｍ.

這種輔助線常見于梯形的兩條對角線已經知道的情況下，尤其是對對角線互相垂直的梯形，通過這種輔助線則可以構造出一個直角三角形和一個平行四邊形，相當于把一條對角線進行了平移，從而可以把兩條對角線置于同一個直角三角形內，利用勾股定理則可以輕松求出第三條邊長， 進而解決問題，這種輔助線因為對對角線互相垂直的題目應用相當方便，所以要讓學生對此類問題形成規律性的理解和記憶. 經典練習題5 等腰梯形的對角線為１７，底邊長為１０和２０，則梯形的面積是＿＿＿＿＿＿＿＿.

經典練習題6 一個等腰梯形的對角線互相垂直，梯形的高為2cm，則梯形面積為＿＿＿＿＿＿＿＿.

方法四 延長兩腰交于一點，構造兩個相似三角形

例４ 已知：如圖5，在梯形ＡＢＣＤ中，AD∥BC，AD < BC，Ｅ，Ｆ分別是AD，ＢＣ的中點，且EF⊥BC． 求證：∠B = ∠C.

解 如圖，分別延長ＢＡ，ＣＤ，相交于點Ｈ，由題意可知，ＡＢ與ＤＣ關于ＥＦ對稱，則點Ｈ必在ＥＦ上，

∴ ＨＦ為ＢＣ的垂直平分線，

∴ ＨＢ ＝ ＨＣ，∴ ∠B = ∠C.

梯形中除了以上常見的幾種輔助線做法外，還常用到以下輔助線：

① 連接上底的一端與一腰的中點，延長交下底的延長線于一點，將梯形割補成與之等積的三角形，如圖6.

② 構造平行四邊形，如圖7.

總之，數學是思維的體操，對學生的思維要求比較高. 在具體的教學過程中，教師一定要引導學生對上述方法靈活應用，萬不可用一些固定的模式要求學生死記硬背. 所以以上各種方法僅是對教學過程中梯形相關問題的常規解決方法的一種探索，具體問題還需具體分析、具體解決.