三角形中的等分線

三角形與等分線相結合為探究題越來越受到青睞 ，經常出現在填空題的第１８題，以此考查學生知識的整合性和探究能力.

例１ 在△ＡＢＣ中，∠Ａ的度數為α，當BO1，CO1將∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ二等分時，∠BO1C = 90° + α.

（１）在△ＡＢＣ中，當BO1，BO2和CO１，CO2將∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ三等分時（如圖１），∠BO2C與∠Ａ的度數之間的關系是 .

（２）在△ＡＢＣ中，當BO1，BO2，…，BOn-1和CO１，CO2，…，COn-1將∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ ｎ等分時（如圖2），∠BOn-1C與∠Ａ的度數之間的關系是 .

解析 此題把角的平分線引申為等分線，但此題的解題思路和解題方法和三角形內角的兩個內角角平分線的夾角的求法相同. 下面是第（２）問的解題過程.

解 （2）∵ ∠Ａ ＋ ∠ＡＢＣ ＋ ∠ＡＣＢ ＝ １８０°，∠Ａ ＝ α，

BOn-1和CO1，CO2，CO3，…，COn-1分別將∠ＥＢＣ和∠ＢＣＦ ｎ等分時，∠BOn-1C = .

解析 此題把等分線與三角形的外角相結合，可以說是等分線與三角形內角相結合的拓展和延伸，但在知識的整合上它更具難度. 要解決此題必須掌握外角的性質、三角形內角和的知識，還要正確理解等分線. 可以說此題是具有一定難度的探究題.

解 ∵ BO1，BO2，…，BOn-1把∠ＣＢE ｎ等分，

例３ 如圖４，∠ＡＣＤ是△ＡＢＣ的外角，BO1，CO1平分∠ＡＢＣ和∠ＡＣＤ，BO2，CO2平分∠O1BC和∠O1CD，BO3，CO3平分∠O2BC和∠O2CD，依此類推，BOn，COn平分∠On-1BC和∠On-1CD，則∠On與∠Ａ的關系為 .

解析 此題是角平分線與三角形的關系問題，因為涉及探究的問題，所以我也把它歸到這一類問題中. 這類問題我們應本著從特殊到一般的解題思路，逐層分析，從結果中找到規律.

解 ∵ BO1，CO1平分∠ＡＢＣ和∠ＡＣＤ，

數學習題千變萬化，但它所考查的重點知識是通過課標去把握的，要想讓學生在中考中取得優異的成績，最重要的就是夯實基礎.