幾個定理的精巧證明及整合

《中學數學雜志》（初中）２００８年第４期刊載的“幾個幾何定理的純幾何證明”［１］一文，給出了四個定理的幾何證明，讀來確感淺顯、別致，但仍覺繁瑣冗長. 筆者經過深入思考、探究，給出另外的證法，同時又推出了一些新的結論，并進一步和原文中的定理整合為兩個定理，更顯構思精巧、結構緊湊、簡潔明了，現介紹之，供讀者參考.

定理１ 已知，如圖１，在以ＡＢ為直徑的半圓中，正方形ＣＤＥＦ內接于半圓，正方形ＣＧＨＫ內接于△ＢＣＦ，且邊ＣＧ在ＡＢ上，ＤＥ交ＢＦ于Ｍ，求證：（1）ＡＣ ＝ ＣＧ．

（２）△ＦＫＨ ≌ △ＭＤＢ．

（3）S正方形CDEF = S正方形CGHK+2S△BGH．

（4）Ｇ是ＣＤ的黃金分割點．

分析 （1）為方便起見，設正方形ＣＤＥＦ的邊長為ｂ，正方形ＣＧＨＫ的邊長為ａ，ＡＣ ＝ ｘ， 連接ＡＦ，易證 △ＡＣＦ ≌ △ＭＥＦ，可得ＭＥ ＝ ＡＣ ＝ ｘ， 由對稱性知，ＢＤ ＝ ＡＣ ＝ ｘ， 根據△ＦＫＨ ∽ △ＭＤＢ，所以ｂｘ － ａｘ ＝ ｂａ － ａｘ，ｂｘ ＝ ｂａ，而 ｂ ≠ ０，得ｘ ＝ ａ ，即ＡＣ ＝ ＣＧ．

（２）由△ＦＫＨ ∽ △ＭＤＢ和ａ ＝ ｘ立得．

（３）由（２）知，△ＦＫＨ ≌ △ＭＤＢ . 通過 ａ ＝ ｘ，易得 △ＢＧＨ ≌ △ＥＦＭ， 所以

Ｓ正方形ＣＤＥＦ ＝ Ｓ正方形ＣＧＨＫ ＋ Ｓ△ＥＦＭ ＋ Ｓ梯形ＭＨＧＤ ＋ Ｓ△ＦＫＨ

＝Ｓ正方形ＣＧＨＫ ＋ Ｓ△ＢＧＨ ＋ Ｓ梯形ＭＨＧＤ ＋ Ｓ△ＭＤＢ ＝ Ｓ正文形ＣＧＨＫ ＋ Ｓ△ＢＧＨ ＋ Ｓ△ＢＧＨ ＝ Ｓ正方形ＣＧＨＫ ＋ ２Ｓ△ＢＧＨ（此結論也可為Ｓ正方形ＣＤＥＦ

＝ Ｓ正方形ＣＧＨＫ ＋ ２Ｓ△ＥＦＭ）．

（４）由射影定理ＦＣ２ ＝ ＡＣ·ＢＣ 和ＡＣ ＝ ａ，可得ｂ２ ＝ ａ（ａ ＋ ｂ）， 所以ａ２ ＝ ｂ（ｂ － ａ），即ＣＧ２ ＝ ＣＤ·ＧＤ， 所以 Ｇ是ＣＤ的黃金分割點. （圖中還有若干黃金分割點，如Ｃ是ＡＤ的黃金分割點，Ｈ是ＦＭ的黃金分割點等留給讀者思考. ）

定理２ 已知，如圖２，在以ＡＢ為直徑的半圓中，正方形ＣＤＥＦ內接于半圓，正方形ＧＨＫＮ內接于△ＢＣＦ，且ＨＫ在邊ＢＦ上，Ｇ，Ｎ分別在ＡＢ和ＣＦ上，ＤＥ交ＢＦ于Ｍ，求證：

（1）點Ｇ是半圓的圓心.

（2）S正方形CDEF = 2S正方形GHKN + S△EFM.

（3）ＦＭ ＝ ２ＫＨ.

分析 （１）設正方形ＣＤＥＦ的邊長為ｂ，正方形ＧＨＫＮ的邊長為ａ，ＡＣ ＝ ｘ． 由定理１的分析可方法二 如圖２，在ＨＫ上取一點Ｐ，使ＰＫ ＝ ＦＫ，顯然 △ＰＫＮ ≌ △ＦＫＮ，過Ｇ作ＧＱ⊥ＮＰ，Ｑ為垂足，易證 △ＧＱＮ ≌ △ＧＣＮ， 連接ＨＱ，ＨＤ， 亦可證 △ＧＱＨ ≌ △ＧＤＨ， 進一步可得△ＰＱH ≌ △ＭＤＨ，

∴ S正方形GHKN = S△FKN + S△GCN + S△GDH + S△MDH，

∴ S正方形CDEF = 2S正方形GHKN + S△EFM .

此方法將正方形ＧＨＫＮ分割成四個三角形與其周圍的三角形建立聯系，展現了巧妙的圖形分割的幾何解題技巧.

（3）由（２）中方法二的推理即可得出ＦＭ ＝ ２ＫＨ. 也可以連接ＭＧ并延長與ＦＣ的延長線交于Ｒ（如圖２），由Ｇ是ＣＤ的中點，可推出Ｇ是ＭＲ的中點，進一步易得ＮＧ是△ＲＭＦ的中位線，所以，ＦＭ ＝ ２ＮＧ，即得ＦＭ ＝ ２ＫＨ.

【參考文獻】

［１］令標 ．幾個幾何定理的純幾何證明． 中學數學雜志（初中）.２００８（４）.