例談一道課本習題的變式與拓展

【摘要】 變式教學是指教師有目的、有計劃地更換命題中的非本質特征、變換問題中的條件或結論、轉換問題的內容和形式來進行教學，促使學生掌握數學對象的本質屬性的一種教學方式. 其實質是根據學生的心理特點，在設計問題的過程中創設認知和技能的最近發展區，誘發學生通過探索、求異的思維活動，發展能力.

【關鍵詞】 變式教學；規律和方法；思維；創新；能力

教材中的例習題都是編者精心挑選、設計的，是知識、技能、思想和方法聯系起來的紐帶，極具開發價值. 事實上，在變化多端的數學題海中有相當一部分題目都是從原型題中演變過來的，其思維方式和所運用的知識不盡相同. 若不能掌握它們之間的內在聯系，只是就題論題，那么題目稍一變臉，學生要么“會而不對，對而不全”，要么無從下手. 因而教師在教學中，應充分挖掘教材中的例題、習題功能，通過變換例習題的背景、改變圖形位置、增減題設或結論，在掌握知識的過程中拓寬解題思路，培養應變能力，總結解題的規律和方法，發展學生的思維能力. 本文通過幾道課本習題的變式與拓展，談談對數學變式教學的認識，僅供參考.

原題：已知如圖1，△ＡＢＣ，△ＣＤＥ都是等邊三角形，且Ａ，Ｃ，Ｅ在同一直線上，度量并比較ＡＤ與ＢＥ的大小. 你能對所得結論說明理由嗎？（蘇科版八上Ｐ３０第１２題）

變式一：圖形旋轉

如圖2，△ＣＤＥ繞著點Ｃ轉動時，ＢＥ和ＡＤ還相等嗎？∠ＤＦＥ的大小是否發生變化？

通過圖形旋轉，表面上看相互各異，但實質是相同的. 可以加深學生對圖形的鑒別能力和對圖形的本質認識，使學生透表求里，自覺地從本質上看問題，在推理中簡縮思維過程，形成思維跳躍，迅速把握思維方向，培養思維的深刻性.

變式二：等邊三角形變為等腰三角形

已知如圖3所示，在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中，ＡＢ ＝ ＡＣ，ＡＤ ＝ ＡＥ，∠ＢＡＣ ＝ ∠ＤＡＥ，且點Ｂ，Ａ，Ｄ在一條直線上，連接ＢＥ，ＣＤ，Ｍ，Ｎ分別為ＢＥ，ＣＤ的中點. 求證：（1）ＢＥ ＝ ＣＤ；（2）△ＡＭＮ是等腰三角形.

將等邊變等腰，一字之變，但面目全非. 在解題過程中要“咬文嚼字”，可培養嚴密的邏輯思維和思維的變通性，培養學生細心、嚴謹的學習態度.

拓展 （1）在圖3的基礎上，將△ＡＤＥ繞點Ａ旋轉１８０°，其他條件不變，得到圖4．請直接寫出上述兩個結論是否仍然成立；在圖4中延長ＥＤ交線段ＢＣ于點Ｐ．求證：△ＰＢＤ∽△ＡＭＮ.

（2）在旋轉過程中，設直線ＢＥ與ＣＤ相交于點Ｐ，當９０°＜∠ＢＡＣ ＜ １８０°時，直接寫出∠ＣＰＢ與∠ＭＡＮ之間的數量關系.

通過研究旋轉特殊角時的結論，從不同角度、不同方面揭示題目的本質，使學生能根據情況變化，積極思索，設法找出解決問題的辦法，防止并消除呆板和僵化，培養思維的靈活性，激發學生的求知欲. 同時可以使學生領會知識的潛在脈絡，提高綜合解決問題的能力.

變式三：改變背景

在直角坐標系中，設點Ｂ在原點Ｏ處，Ｄ（１，０），以ＯＤ為邊作等邊三角形ＯＤＡ，Ｅ在ｘ軸上，以ＡＥ為邊作等邊三角形 ＡＥＣ，直線ＣＤ交ｙ軸于點Ｓ，當點Ｅ在ｘ軸上運動時，試探究點Ｓ的位置有何變化.

將旋轉后的圖形放到平面直角坐標系中，進行變式設計，讓學生通過類比、聯想，大膽思考，把學生思維引向更高層次，讓學生做到“遇新題，憶舊題，多思考，善聯想，多變換，找規律”. 通過“變”來實現知識遷移，激發創造性思維，再由思維激思維，使思維發生“連鎖反應”，從而提高學生思維的廣闊性.

拓展：把正三角形變為正方形

如圖6，正方形ＣＧＥＦ的對角線ＣＥ與正方形ＡＢＣＤ的邊ＢＣ在同一直線上（ＣＧ ＞ ＢＣ），取ＡＥ的中點Ｍ，連接ＤＭ并延長交ＣＥ于點Ｎ ，探究線段ＦＭ，ＤＮ的關系，并加以證明.

將正三角形變為正方形，設計結論開放題，打破原有的封閉思維模式，從多角度、多方位、多層次進行思考，展開合理的聯想和想象，運用開放的思維方式解決問題，開拓解題思路，克服學生思維狹窄性，其思維方向和模式的發散性有利于創造性能力的形成.

總之，高度重視課本，加強課本例習題的探究與拓展，不僅可以激發學生的求知欲， 培養學生的學習興趣，讓學生從不同的角度去觀察問題、分析問題，而且有利于養成良好的思維習慣和品質， 從而提高分析問題、解決問題的能力，有利于學生探究意識的形成.