分類討論在等腰三角形中的應用

等腰三角形是一種特殊的三角形，除了具備一般三角形的性質外，還具有本身的特殊性質，它在幾何中占有重要的位置. 有些同學在解等腰三角形有關問題時，由于受思維定勢的影響，經常忽略多解問題，往往出現漏解現象，因此在等腰三角形中，常需要進行分類討論，現舉例如下.

一、忽略角的位置，引發結論不唯一

例１ 已知等腰三角形中有一個角等于５０°，則這個等腰三角形的頂角的度數為＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

錯解 頂角為８０°

剖析 已知中沒有明確該５０°的角為頂角還是底角，所以應分兩種情況進行分析．

正解 分兩種情況：

若該角為底角，則頂角為１８０° － ２ × ５０° ＝ ８０°；

若該角為頂角，則頂角為５０°．

所以頂角是５０°或８０°．

點評 對于等腰三角形中角的位置沒有確定時，要根據等腰三角形的性質分為頂角或底角兩種情況進行分類討論，從而杜絕漏解現象.

二、忽略邊的位置，引發結論不唯一

例２ 等腰三角形的兩邊長為１１ ｃｍ，６ ｃｍ，則它的周長是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

錯解 １１ ＋ １１ ＋ ６ ＝ ２８ ｃｍ.

剖析 題中沒有指明兩條邊哪個是底邊哪個是腰，則應該分兩種情況進行分析，從而得到正確答案．

正解 分兩種情況討論：①三邊是１１，１１，６時，符合三角形的三邊關系，此時周長是２８；②當三邊是１１，６，６時，也符合三角形的三邊關系，此時周長是２３．

點評 對于未明確已知邊是底邊還是腰的等腰三角形，應先根據等腰三角形兩腰相等的性質得出第三邊長的兩種情況，再根據兩邊之和大于第三邊來判斷能否構成三角形，從而求出周長．

三、忽略周長大小關系，引發結論的不確定性

例3 已知等腰三角形一腰上的中線把它的周長分為１８ ｃｍ和２１ ｃｍ的兩部分，求等腰三角形三邊的長．

錯解 如圖１，設等腰三角形的腰長為２ｘ，底為ｙ，則有

3x = 18，x + y = 21，解得：x = 6，y = 15.

.

故三角形的三邊長為１２，１２，１５．

剖析 此解默認了△ＡＢＤ周長為１８，△ＢＣＤ的周長為２１，即△ＡＢＤ的周長小于△ＢＣＤ的周長，因題中未指明大小關系，故需要進行分類討論．

正解 （１）當底邊大于腰長時，解法同上；

（２）當底邊小于腰長時，如圖２，設腰長為２ｘ，底為ｙ，則有3x = 21，x + y = 18，解得x = 7，y = 11.

因此三角形的三邊長為１２ ｃｍ，１２ ｃｍ，１５ ｃｍ或１４ ｃｍ，１４ ｃｍ，１１ ｃｍ．

點評 對于未指明腰與底邊大小關系的，要分情況討論，同時還要注意考慮三角形三邊關系定理，最終得到正確答案. 四、忽略高的位置，引發結論不唯一

例4 等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為５５°，求這個等腰三角形頂角的度數.

錯解 頂角為３５°.

剖析 三角形的高是由三角形的形狀決定的. 對于等腰三角形，當頂角是銳角時，腰上的高在三角形內；當頂角是鈍角時，腰上的高在三角形外.

正解 依題意可畫出圖3和圖4兩種情形. 圖3中頂角為３５°，圖4中頂角為１４５°.

點評 對于等腰三角形，當頂角是銳角時，腰上的高在三角形內；當頂角是鈍角時，腰上的高在三角形外. 求解時一定要認真分析題意，畫出所有可能的圖形，注重數形結合思想的應用，這樣才能正確解題.

五、忽略點的位置，引發結論的多變性

例5 如圖5，l是一段平直的鐵軌，某天小明站在距離鐵軌１００ m的Ａ處，他發現一列火車從左向右自遠方駛來，已知火車長２００ m，設火車的車頭為Ｂ點，車尾為Ｃ點，小明站著不動，則從小明發現火車到火車遠離他而去的過程中，以Ａ，Ｂ，Ｃ三點為頂點的三角形是等腰三角形的時刻共有＿＿＿＿＿＿＿＿＿個.

錯解 ３

剖析 在火車自左向右運動的過程中，車長ＢＣ可以是腰，也可以是底邊．點的位置既可以在小明所在位置的左邊，也可以在小明所在位置的右邊.

正解 如圖6，當車長為底時，得到的等腰三角形是△ＡＢＣ；當車長為腰時，得到的等腰三角形是△ＡＢ１Ｃ１，△ＡＢ２Ｃ１，△ＡＢ３Ｃ２，△ＡＣ２Ｂ４．故得到的等腰三角形共有５個．

點評 在實際應用問題中，既要注重應用等腰三角形的性質進行分類討論，又要依據點的位置變化，數形結合，從而得出正確答案. 所以學生一定要思維嚴密，不可遺漏．

分類討論既是一種數學思想方法，也是一種重要的解題方法，在學習過程中，運用分類討論解題的關鍵是如何正確、恰當地進行分類，以達到正確解題的目的.