反思習題教學 培養思維品質

【摘 要】 解題是數學教學的一個重要內容，是數學思維和能力培養的重要載體. 作為解題的最后一個環節——解題反思對提高學生的解題和探究能力舉足輕重，但這一環節卻極易被學生忽視. 本文從數學解題反思的幾個內容淺析其培養思維的價值.

【關鍵詞】 解題反思；培養；思維品質

在實施素質教育的今天，如何培養學生的思維品質，怎樣提高學生分析問題和解決問題的能力，已成為一個值得認真研究和探討的問題，現就其中的一個重要環節——解題后的反思作以探討，以求拋磚引玉.

一、反思題目特征，培養思維的深刻性

思維的深刻性表現在能透過表面現象和外部聯系，揭露事物的本質，進而深入的思考問題. 解完一道題目，再審視題目的特征，抓住本質的東西，進而通過“一題多變”或“一題多問”的訓練加以錘煉，鞏固發散思維，從而培養思維的深刻性. 例1 等腰三角形的一個角是１１０°，它的另外兩個角的度數分別是 .

在解完這道題目后，我又作了如下變形，讓學生解答.

變形 等腰三角形的一個角是８０°，它的另外兩個角的度數分別是 .

題目經過如此的加工、挖掘，由一解變為兩解，豐富了內涵，擴大了知識的覆蓋面，深化了所學的知識，達到了弄懂一題，知曉一片的效果，從而在一定程度上防止和減少了學生思維上的表面性和絕對性的毛病，培養了學生思維的深刻性. 二、反思解題思路，培養思維的發散性

思維的發散性是指能從眾多的知識領域和多方面的知識出發來解決問題，是思路開闊而且全面的表現. 解完一道題目后應考慮能否根據該題的基本特征或因素，進行多角度的觀察和思考，找到更多的思維通路，這有助于培養思維的發散性，奠定創新思維的基礎.

例2 如圖，在長為４０米、寬為２２米的矩形地面內，修筑兩條同樣寬且互相垂直的道路，余下的鋪上草坪，要使草坪的面積達到７６０平方米，道路的寬應是多少？

分析 求草坪的面積只要用整個矩形的面積減去兩條路的面積，但要知道，如果這樣就多減了一次兩條路的重疊部分，所以要加上多減去的那部分.

解 設道路的寬應是ｘ米.

根據題意，得４０ × ２２ － ４０ｘ － ２２ｘ ＋ ｘ２ ＝ ７６０，

整理，得ｘ２ － ６２ｘ ＋ １２０ ＝ ０，

解這個方程，得ｘ１ ＝ ６０（舍），ｘ２ ＝ ２.

反思 上面的這種解法是學生的一般思路，此題若就此結束，其思路未免狹窄. 因此應考慮是否還有其他方法，學生們一討論，結果就發現還有以下解法.

另解 分析 我們可以把兩條路移到兩邊，如圖所示，這樣原先的四塊草坪就變成了一塊，這塊草坪的長為（４０ － ｘ）米，寬為（２２ － ｘ）米，則可得方程（４０ － ｘ）（２２ － ｘ） ＝ ７６０.

這樣同樣可以求出道路的寬度.

反思解題思路就能突破慣性思維的束縛，加深知識縱橫聯系，激發思維的靈活性，從而拓寬學生的思維，有效地提高學生分析問題和解決問題的能力.

三、反思解題途徑，培養思維的敏捷性

思維的敏捷性是指思維過程簡捷，能快速的得出正確結果的一種思維品質. 在解完一道題目后，應認真分析解題過程有沒有思維回路，哪些過程是可以合并或轉換或略去的. 這樣的反思，有助于縮短解題長度，優化解題過程，深化認知境界，從而培養思維的敏捷性.

例3 已知如圖，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝ ９０°，ＣＡ ＝ ＣＢ，∠ＢＡＣ的平分線交ＢＣ于點Ｄ，ＤＥ⊥ＡＢ，垂足為Ｅ. 求證：ＡＢ ＝ ＡＣ ＋ ＣＤ.

要證明這個結論，大家都應知道肯定要證到ＤＥ ＝ ＣＤ，學生受思維定式的影響，在證明ＤＥ ＝ ＣＤ時，證明過程可能會比較老套，下面是許多學生的證明過程：

證明 ∵ AD是∠ＢＡＣ的平分線，

∴ ∠ＥＡＤ ＝ ∠ＣＡＤ.

∵ ∠Ｃ ＝ ９０°，ＤＥ⊥ＡＢ，

∴ ∠Ｃ ＝ ∠ＡＥＤ ＝ ９０°.

∵ ＡＤ ＝ ＡＤ，

∴ △ＡＥＤ≌△ＡＣＤ，

∴ ＤＥ ＝ ＣＤ.

這種解題過程具有普遍性，也符合解題常規，但如果跳出常規，換一種思路，就會簡化證明過程. 教師不要急于告訴學生方法，不妨先讓他們走些彎路. 而教師在學生板書旁講授另一種解法，進行對照.

證明 ∵ AD是∠ＢＡＣ的平分線， 且∠Ｃ ＝ ９０°，ＤＥ⊥ＡＢ，

∴ ＤＥ ＝ ＣＤ（理由是角平分線上的點到角兩邊的距離相等）.

通過對比，學生發現后面的證法比較簡單，有效的避免了在證明上兜圈子. 所以教師在講評習題時，應從多方面、多角度展示解題途徑，引導學生從整體上分析把握思維途徑的最優化，變繁為簡，變拙為巧，以提高學生思維的敏捷性.

四、反思解題錯誤處，培養思維的批判性

思維的批判性是指在思維活動中獨立思考，精確檢查思維過程，及時發現矛盾，捕捉反饋信息，自覺修正錯誤的品質. 在解完一道題目后，應想一想，找一找解答題目時容易出錯的地方或曾經出錯的地方，分析出錯的原因，總結應該注意的問題. 這樣的反思，不僅可以防止類似錯誤再犯，而且加深了正確結論的印象，提高了辨析解題錯誤的能力，從而培養了思維的批判性.

例4 解方程：（ｘ ＋ ２）２ ＝ ４（ｘ ＋ ２）.

解 兩邊都除以（ｘ ＋ ２），得ｘ ＋ ２ ＝ ４，∴ ｘ ＝ ２.

當公布上述答案時，多數學生為解題成功而高興. 我馬上說：“錯了！”學生驚訝，為何錯了？錯在何處呢？我問學生ｘ ＋ ２可能的值是什么，學生經過思考會發現可能為０，根據除數不能是０的原則，學生知道這個解題過程是錯的. 而且這樣做也少了一個根. 比較簡單的解法是用因式分解法中的提公因式法. “吃一塹，長一智”，從某種意義上說，學生思維的發展是在與失誤斗爭取勝的過程中實現的，學生的失誤好像是壞事，但通過師生的努力，完全可以將其變化為好事，讓學生嘗到失誤的“苦頭”，他們的思維就逐步趨于完善，以至成熟.

綜上所述，進行解題后的反思，不僅有利于知識的理解鞏固與規律的形成，而且培養了學生的思維品質，是提高學生解題能力的有效途徑. 教師可以在教學中有目的、有意識、有計劃的引導學生進行解題后的反思，以提高學生的思維能力和解題能力.