無窮小量的比較結果分析

【摘要】本文從教學實際出發，給出了兩個無窮小量比較的極限值的幾種情況，在某些場合下，無窮小量的比較將為極限計算提供比較簡捷的途徑。

在高等數學的學習中， 極限是其中一個很重要的部分，在函數存在極限的各種不同情況中， 有一種很重要的情況，那就是極限為零， 從而引出了無窮小量的概念。在這里需要強調的是， 無窮小量是變量， 不是一個具體的數， 絕對不能與很小的數相混淆。但是， 零卻是可以作為無窮小量的唯一的數。對于無窮小量的計算， 有界函數、常數與無窮小量的乘積還是無窮小量， 有限個無窮小量的和、差、積依然是無窮小量， 那么對于兩個無窮小量之比的結果會是怎么樣呢？下面我們就專門討論一下無窮小量的比較問題。

對于等價無窮小， 它們趨向于0 的速度是“相同” 的， 因而常常可以用在求兩個無窮小量之比的極限之中， 分子及分母都可用等價無窮小量代替。但做等價無窮小量替換時，在分子或分母為和式時， 通常不能用和式中的某一項或若干項做等價無窮小量替換。若分子或分母為幾個因子的積，則可將其中某個或某些因子以等價無窮小量替換。

上題中如果錯誤地都直接用等價無窮小量進行替換，將會得出錯誤的結論。比如上題分子中的和式也直接用等價無窮小量進行替換， 將得出limx→0tanx-sinxsin3x=limx→0x-xx3=0， 很顯然是錯誤的，因此， 在用等價無窮小量做替換求極限時， 要分析清楚，什么時候可以替換， 什么時候不可以替換。

三、高階無窮小量

設α（x）和β（x）為當x→x0（或x→∞） 時的兩個無窮小量， 若它們的比的極限為零， 即limα（x）β（x）=0， 則稱α（x）是β（x）的高階無窮小量， 或稱β（x）是α（x）的低階無窮小量，記為α（x）=0（β（x））。例如：limx→0x2x=0， 所以， 當x→0 時x2是x 的高階無窮小量， 又如limx→0x2sinx=0， 所以， 當x→0 時x2是sinx 的高階無窮小量。若α（x）是β（x）的高階無窮小量， 則意味著α（x）比β（x）趨向于0 的速度要快得多。

四、兩個無窮小量之比極限不存在且不是無窮大并不是說任何兩個無窮小量都可以加以比較的， 例如，當x→0 時， xsin1x和x 都是無窮小量， 但是limx→0xsin1xx=limx→0sin1x， 其值是不定的， 是在-1， 0， 1 上振蕩， 從而上式的極限不存在， 所以可以得出結論， xsin1x和x是不可以進行比較的， 它們之間不存在同階、高階或等價的關系。通過以上的分析， 我們得出結論， 對于兩個無窮小量的比較， 不僅僅是書上介紹的三種情況， 即同階無窮小量，等價無窮小量， 高階無窮小量， 還存在另外一種可能性，那就是兩個無窮小量之比極限不存在且不是無窮大的情況，所以在解題時要充分認識到這一點， 才能正確地把無窮小量的知識應用到實際當中。

【參考文獻】

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［2］ 鄔冬華.高等數學北京： 中國人民大學出版社，2011.

［3］ 徐文智， 王晨.高等數學［M］.西安： 西安電子科技大學出版社， 2010.

【作者簡介】謝鳳艷（1970－）， 女， 黑龍江雙鴨山人， 工程碩士， 黑龍江煤炭職業技術學院數學副教授， 主要從事數學教育。

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