淺談洛比達法則

摘要在一元函數極限的計算中，洛比達法則是解決這一問題的最有效方法，但洛比達法則也不是“萬能”的，運用不當不但計算十分復雜，甚至得不出結果或導出錯誤的結果。

中圖分類號：O172文獻標識碼：A

Shallow Analysis of L'Hospital

JIANG Yinshan

(Austral Business School of Guangdong University of Foreign Studies， Guangzhou， Guangdong 510545)

AbstractIn a circular function limit calculation， L'Hospital Law is the most effective way to solve this problem， but it isn't \"universal\"， wrong using of it will be very complicated and lead to a wrong result or nothing.

Key wordsindefinite formulas; the substitution equivalent infinitesimal; Nonzero factor; limit

在一元函數極限的計算中，常常遇到求所謂“未定式”的極限問題。洛比達法則是解決這一問題的最有效方法，但洛比達法則也不是“萬能”的，運用不當不但計算十分復雜，甚至得不出結果或導出錯誤的結果，所以給學生的學習帶來很大的困擾，那么如何正確使用洛必達法則，本文就這方面進行一定的總結，希望能給學生的學習帶來幫助。

1 洛比達法則的三個條件是結論的充分條件

現以洛比達法則I加以說明：

若函數f (x)與g(x)滿足下列條件：

（1）在點a的某去心鄰域內，f '(x)及g '(x)都存在，且g '(x)≠0；

（2）當x→a時，函數f (x)及g (x)都趨于零；

（3） 存在，則=

在使用洛比達法則時應注意條件（3）僅是充分條件，即當有限 不存在時，雖然不能使用洛比達法則，但極限 仍可能存在。

例1．求

解：此極限屬于型的未定式，但對分子和分母求導后，將變為

由于 cos 的極限不存在（振蕩），故洛必達法則失效，但原極限是存在的，可用如下方法求得：

= x sin=xsin=1€?=0

2 應注意檢查使用洛比達法則的條件

首先檢查所求的極限是否屬于未定式，只有，型的未定式，才能使用洛比達法則，而0，∞型的未定式轉化為或型；∞-∞型的未定式轉化為型；00，∞0，1∞型0，∞型或型。故在使用洛比達法則時一定要檢驗它的型，洛必達法則可多次使用。

例2求

解：= = = 是錯誤的。

因為 既不是也不是型，故不能使用洛比達法則，其實 = 0

例3求

解：=不存在，但=(1+) = 1+0 = 1

從例3可以看出使用洛比達法則不但要檢驗未定式的型，還要看滿不滿足洛必達法則的三個條件。

3 使用洛比達法則應采用一定的技巧

在多數情況下，使用洛比達法則是有效和簡便的，但對一些形式較為復雜的未定式極限的計算就不能一味地使用洛比達法則而要注意配合使用其它方法，才能在計算過程中簡化。

3.1 使用未定式

例4 求 ( - )

法一：直接使用洛比達法則

解：原式= ，（型）=

=（洛比達法則）

=

=（洛比達法則）

=（洛比達法則）

=

= = 。

法二：洛比達法則與等價無窮小的代換結合使用。

原式=

=

=

=

= =

3.2 將“非零因子”分離出來

例5 求

如直接用洛比達法則計算將很復雜，我們發現分子和分母都有非零因子cos2x和。因此首先將它們分離出來，轉化為兩個極限的乘積后，再用洛比達法則就簡單多了。

解：原式=

= 1·1 = =

參考文獻

[1]馬慶華.淺談如何正確靈活使用洛比達法則.惠州大學學報，1999.12(4).

[2]吳贛昌.微積分[M].中國人民大學出版社，2009.7.

[3]考研命題研究組.研究生考試應試教程[M].科學技術文獻出版社，2006.2.