淺析幾何概型在新課改中的應(yīng)用

摘要幾何概型是課改新增加內(nèi)容，對具體題目所涉及的正確理解與使用，既是教學(xué)中重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是正確解決幾何概型問題的關(guān)鍵所在。把問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的幾何圖形， 正確選擇恰當(dāng)?shù)膸缀胃判蜎Q定了問題解決的成敗。

關(guān)鍵詞 新課程 幾何概型 測度

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Shallow Analysis of Geometric Probability Applied in New Course Reform

ZHOU Xuewei

(Harbin No.14 Middle School， Harbin， Heilongjiang 150076;

Harbin Normal University， Harbin， Heilongjiang 150080)

AbstractGeometric probability model is a new increase class in new course reform， the correct understanding and using of the specific topic， is both teaching key points and difficulties， change the problems into corresponding geometric figure， the correct choice of appropriate geometric probability model determines the success or failure of problem solving.

Key wordsnew course; geometric probability; measure

幾何概型是高中新課程標(biāo)準(zhǔn)中新增的知識(shí)內(nèi)容之一，它是一種特殊的隨機(jī)概率模型，幾何概型是在古典概型基礎(chǔ)上進(jìn)一步的發(fā)展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸。是概率問題的幾何形式，近幾年也是高考考查的重要內(nèi)容。利用樹形圖去確定基本事件數(shù)中的數(shù)形結(jié)合思想，利用互斥事件去求概率中的分類討論思想，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型去求解中的轉(zhuǎn)化與化歸的思想，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的目的。

1 幾何概型的定義理解

幾何概型定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型。

幾何概型的剖析：

（1）實(shí)驗(yàn)的結(jié)果不是有限個(gè)，在一個(gè)區(qū)域（一維，二維，三維或n維）均勻分布，樣本點(diǎn)等可能發(fā)生在區(qū)域內(nèi)，與所在區(qū)域的形狀位置無關(guān)，與該區(qū)域的大小有關(guān)。

若記事件A={任取一個(gè)樣本點(diǎn)，它落在區(qū)域dD}，則事件A的概率P(A) = 。

（2）幾何概型，判斷一個(gè)概型是否為幾何概型，主要看三個(gè)特征，一是試驗(yàn)結(jié)果的無限性，二是試驗(yàn)結(jié)果的等可能性，三是可以轉(zhuǎn)化為求某個(gè)幾何圖形的測度的問題。在幾何概型中，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生應(yīng)理解為取到區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)，該事件發(fā)生的概率P(A) = ，測度可以是長度、角度、面積、體積。幾何概型和古典概型最本質(zhì)的區(qū)別是試驗(yàn)結(jié)果是否有限。

（3）古典概型與幾何概型的區(qū)別。相同點(diǎn)：兩者基本事件的發(fā)生都是等可能的。不同點(diǎn)：古典概型要求基本事件有有限個(gè)，幾何概型要求基本事件有無限多個(gè)。

2 適當(dāng)選擇測度來解決幾何概型問題

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，課堂問題變式教學(xué)不僅是給學(xué)生形式上的參與和表象上的傳授，關(guān)鍵是使學(xué)生對問題的認(rèn)知、探索、發(fā)現(xiàn)、設(shè)計(jì)、解決、創(chuàng)造等方面有更深層次的理解，從而使學(xué)生能夠成功辨別各種變異，掌握特定的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法.下面略舉幾個(gè)例子談?wù)劷鈳缀胃判蛦栴}，如何選用適當(dāng)?shù)臏y度，希望對大家的學(xué)習(xí)有所幫助。

2.1 一維空間測度區(qū)域長度

例1.小美參加約會(huì)需坐公交車，每5分鐘發(fā)車一次，達(dá)到時(shí)刻是隨機(jī)，他候車時(shí)間不超過3分鐘的概率。

解析： 類似于古典概型，關(guān)鍵是找到其中每一個(gè)基本事件。注意到每一個(gè)基本事件都與唯一一個(gè)斷點(diǎn)一一對應(yīng)，故引例中的實(shí)驗(yàn)所對應(yīng)的基本事件組中的基本事件就與線段上的點(diǎn)一一對應(yīng)，由于在古典概型中事件A的概率為P包含的基本事件個(gè)數(shù)/總的基本事件個(gè)數(shù)，但這兩個(gè)數(shù)字（A包含的基本事件個(gè)數(shù)、總的基本事件個(gè)數(shù)）在例1中是無法找到的，不過用線段[3，5]的長除以線段[0，5]長表示事件A的概率似乎也是合理的。

解：記候車時(shí)間不超過3分鐘為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域L0 = {t|0≤t≤3}，區(qū)域長度為L = {t|0≤t≤5}，由于只有一個(gè)變量，可轉(zhuǎn)化為區(qū)域長度問題：∴

評注：抓住幾何概型的本質(zhì)，基本事件是在5分鐘內(nèi)的任何時(shí)段，可以看成在長度5的線段上取點(diǎn)，即每取一個(gè)數(shù)便是在線段上隨機(jī)取一點(diǎn)。

2.2 二維空間區(qū)域面積

例2.（1）小美和小麗兩人約定在6點(diǎn)到7點(diǎn)之間會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過時(shí)即可離開，求兩人能會(huì)面的概率。

解析：設(shè)小美和小麗到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間從6點(diǎn)記起分別為x，y，(x，y)全部結(jié)果所構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)閧(x，y)|0≤x≤60，0≤y≤60}，兩人能夠會(huì)面的充要條件是|x-y|≤15，由于兩個(gè)變量，可轉(zhuǎn)化為區(qū)域面積問題：

做出區(qū)域

設(shè)兩人能會(huì)面的為事件A，

評注：本題研究線段的截取法的時(shí)候涉及到兩個(gè)分點(diǎn)，它不同于一個(gè)點(diǎn)截取線段那么具體直接，需要將每種截取方法當(dāng)成一個(gè)事件看待，每種截法對應(yīng)著一對新的“元”，從而建立二維平面，將基本事件抽象成具體的“點(diǎn)”，讓一個(gè)“基本事件”對應(yīng)著一個(gè)“點(diǎn)”。

2.3 三維空間區(qū)域體積

例3.小美和小麗約好到小明家做客，小美在6點(diǎn)到7點(diǎn)之間到達(dá)，小麗在6點(diǎn)到7點(diǎn)之間到達(dá)，小明有事要在6:30到7:30之間離開，問他們能同時(shí)做客的概率是多少？

明確時(shí)間的條件和結(jié)果，準(zhǔn)確把握區(qū)域和測度。

解析：設(shè)小美到達(dá)的時(shí)間是x，小麗到達(dá)的時(shí)間是y，小明離開的時(shí)間是z，(x，y，z)全部結(jié)果所構(gòu)成的空間區(qū)域?yàn)閧(x，y，z)|6≤x≤7，6≤y≤7，5≤z≤7.5}

他們能同時(shí)做客的條件是

幾何體分析：建立坐標(biāo)系xyz，時(shí)間從6點(diǎn)記起，底面是ABCD，E，F(xiàn)，G，H，I，J，K分別為各棱的中點(diǎn)，HF∩EK = M，構(gòu)成的正方體體積為1€?€? = 1

他們能同時(shí)做客事件A，構(gòu)成的幾何體是截取三棱柱AHG-BIF，三棱柱EBI-CKJ，兩三棱柱的公共部分是四棱錐I-BEMF，區(qū)域體積

則所求事件的概率是

評注：基本事件構(gòu)成的幾何體要在已知的條件下通過計(jì)算體積求出概率，雖然在測度上比較容易把握，但在計(jì)算時(shí)需要立體幾何的鋪墊，是比較困難的。

3 幾何概型的教學(xué)中的感悟

通過對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行多角度、多方面的變式探索研究，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從變的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì)，從不變的本質(zhì)中探索變的規(guī)律，從中不僅能增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)變能力，而且能優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力和素質(zhì)。

在以構(gòu)建系統(tǒng)知識(shí)為取向的現(xiàn)有課堂教學(xué)中，實(shí)施有效課堂問題變式教學(xué)的關(guān)鍵在于確定合適的潛在距離和合理的變異空間.問題變式安排應(yīng)遵循以下基本原則：第一，在問題的外貌特征上，每一個(gè)問題都相似；第二，在問題上變異增加，每一問題難度上逐漸增加；第三，在變異增加的內(nèi)容上，應(yīng)該從簡單到復(fù)雜，從具體到抽象。

變式訓(xùn)練不是簡單的重復(fù)。關(guān)于特定數(shù)學(xué)內(nèi)容的問題變式，有助于幫助學(xué)生關(guān)注特定數(shù)學(xué)內(nèi)容的不同方面，有助于促使學(xué)生產(chǎn)生體驗(yàn)新的知識(shí)的深切體會(huì)，有助于促成學(xué)生形成看待原有問題的全新視角.所有這些，就其外在表象而言，接觸了更多的變異，就其內(nèi)在而言，產(chǎn)生了深刻的理解.學(xué)生對明顯是點(diǎn)分布的幾何概型問題較容易理解，對于隱性（不明顯）幾何概型問題的測度，有時(shí)并不能分辨，通過以上例題的分析與思考進(jìn)行總結(jié)，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)，測度具有如下性質(zhì)：

（1）測度具有可變性——它可以是線段的長度，是平面圖形的面積、角度，是立體圖形的體積等；（2）測度具有可求性——相應(yīng)圖形的長度、角度、面積、體積等都應(yīng)該是能夠求出來的；（3）測度具有可轉(zhuǎn)換型——等可能的等價(jià)轉(zhuǎn)換，角度轉(zhuǎn)換成長度問題，長度問題轉(zhuǎn)換成面積問題等。

只要充分領(lǐng)會(huì)教材的編寫意圖，宏觀上理清思路，在微觀上推敲細(xì)節(jié)，并多思考教材為什么這樣編寫，把握好教材的編寫線索。

4 結(jié)語

幾何概型是一種概率模型，它與古典概型的區(qū)別是試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè)，幾何概型的測度的把握關(guān)鍵是對于基本事件的分析，再運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想把問題“幾何化”，再定好測度，把握區(qū)域就能迎刃而解。掌握到幾何概型的“約會(huì)問題”的方法和技巧，必能熟練將“約會(huì)”進(jìn)行到底。

參考文獻(xiàn)

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