對傅里葉變換中時域微積分性質的討論

對傅里葉變換中時域微積分性質的討論

楊艷霞

（西安工業大學北方信息工程學院陜西·西安710025）

摘要在求信號的傅里葉變換運算中，本文從一道例題，應用時域積分性質，得出由函數的導數傅氏變換求取原函數傅氏變換的一般公式，擴展了時域微積分性質的應用。

關鍵詞傅里葉變換時域微積分性質

中圖分類號：O174.22 文獻標識碼：A

Time-domain Calculus Properties in Fourier Transform

YANG Yanxia

(Xi'an Technological University Northern Information Engineering College， Xi'an， Shaanxi 710025)

AbstractAsking signal Fourier transform operation， this paper， from a sample application， it is concluded that the time domain integral nature of derivatives Fourier transformation by deriving the general formula antiderivatives Fourier transform， extending the application of time domain calculus properties.

Key wordsfourier transform; time-domain calculus properties

傅里葉變換是信號與系統分析中非常重要的一種數學工具，它建立了信號時域與頻域之間的一種對應關系，因此在諸多的數學、物理和工程技術領域中得到廣泛應用。傅里葉變換和反變換建立起了信號的時間函數與頻譜密度函數之間的一一對應關系 ，若所有信號的頻譜函數都采用公式來做無疑很麻煩，所以往往在記住常見信號的頻譜函數基礎上，利用傅里葉變換的性質來做比較快捷方便。

傅里葉變換的基本性質中有一條重要的性質時域積分，《信號與系統》的教材上給出的性質內容如下：若，則

(1)

當F(0) = 0時，。

在運用此性質的時候發現了一些問題，以下舉例來說明。

1 時域微積分性質應用舉例

例1如圖1所示的信號f (t)，求其傅里葉變換F(j)。

圖1圖2

對圖1(a)，先求其導數對應的傅里葉變換，因為我們非常熟悉，是單脈沖矩形信號如圖2所示，其傅里葉變換為Y(j) = 2Sa ()，利用時域積分性質F(j) = Y(0)() + ，而Y(0) = dt = 2，F(j) = 2() +

對圖1(b)，采用同樣的方法，先求導數對應的傅立葉變換，發現與如圖2所示單脈沖矩形信號相同，其傅里葉變換也為Y(j) = 2Sa ()，利用時域積分性質，得到的傅里葉變換也相同為F1(j) = 2() + 。

兩個不同的函數，為什么得出的傅里葉變換是一樣的？為了驗證結果，我們采用另一種方法，f (t)可以表示為

f (t) = u (t - 1) -(- t - 1) + t [u (t + 1) - u (t - 1)]

通過對這些常用信號求傅里葉變換，再線性疊加，最后得到F(j) = 。對f 1(t)，表示為

f1 (t) = 2u (t - 1) -(t + 1)[u (t + 1) - u (t - 1)]

最后得到F1(j) = 2() + 。可見求出的F(j)是有問題的。

從以上的計算過程，以及查找相關資料，教材上關于時域積分性質的公式是正確的，時域積分性表明已知一個函數的變換結果，可以利用這些性質求出這個函數積分后的相應變換。但在實際運算中，往往是反過來應用， 即為了求某個函數的傅里葉變換，往往先求出該函數求導后的傅里葉變換，再用積分性質得出原函數的傅里葉變換。但對某些函數雖然有y (t) = f '(t)，但有可能f (t)≠y (-1)(t) = y()d，這時就需要對時域積分公式進行修正。

2 應用時域積分性質的一般性公式

求取信號f(t)的傅氏變換有時會遇到困難，但其導數函數y(t)的傅氏變換容易求取，此時，可先求y(t)的頻譜，再用時域積分性質進一步求取f(t)的頻譜，例如前面的信號。

對于一般情況，先求導再運用積分性質的話就需要對積分性質的公式進行修正，即：

若有 = y (t)，則

(2)

式中f (∞) = f (t)， f (-∞) = f (t)

證明過程如下：

由于y()d = d = f (t) - f (-∞) (3)

根據時域積分性質

又f (t)F(j)

f (-∞) 2f (-∞)()

由(3) F(j) =+ Y(0)() + 2f (-∞)()

由于

可得F(j)=+ [f (∞) + f (-∞)]()(4)

用式子(4)驗證例1：對圖1(a)f (-∞) = -1，f (∞) = -1則F(j)= ，圖1(b)f (-∞) = 0，f (∞)= 2，F1(j)=+ [f (∞) + f (-∞)]() =+ 2()：與運用線性性質的結論一樣。

3 結論

本文從一道例題中發現了在使用傅里葉變換的時域微、積分性質求解信號的頻譜時容易出現的問題。從上述討論分析可以看出，若要求某一函數積分后的傅里葉變換，可以運用公式F(j)=+ Y(0)()，因為一個函數y(t)它的積分y()d是唯一的。但如果先求導，在積分，直接利用公式，有可能會出錯。這時要利用前面推倒的一般公式(4)。

參考文獻

[1]吳大正.信號與系統(第4版).北京:高等教育出版社，2005.

[2]張小虹.信號與系統(第二版).西安:西安電子科技大學出版社，2008.

[3]范世貴.信號與線性系統(第二版).西安:西北工業大學出版社，2006.

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