對(duì)不定積分中湊微分法與分部積分法的教學(xué)新議

摘要湊微分法與分部積分法的公式中均有湊微分的過(guò)程，學(xué)生易混淆。針對(duì)這一情況，文中提出一種直觀、簡(jiǎn)潔、易于學(xué)生掌握的方法——“拆”、“選”、“湊”、“判”四步法，幫助學(xué)生快速準(zhǔn)確地選擇湊微分因子和積分方法，從而可以快速解題。

關(guān)鍵詞 湊微分 湊微分法 分部積分法 不定積分

中圖分類號(hào)：G642文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Gather Together Differential Method Divide Part

Integral Method Teaching in Indefinite Integral

WANG Xiaoping， YANG Chaorong， WANG Qi

(Yibin Vocational and Technical College， Yibin， Sichuan 644003)

AbstractBoth the formulate of gather together differential method and divide part integral method are have gather together differential process， the students usually confused about them， aimed at this situation， this paper raises a directive， simple and easy method——\"demolition \"， \"choose\"， \"gather together\"， \"distinguish\"of four step method， in oder to help students rapidly and accurately choose to use gather together differential method or integral method， so that they can quickly solve the problem.

Key wordsgather together differential; gather together differential method; divide part integral method; indefinite integral

不定積分是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程的基礎(chǔ)。求不定積分有第一換元積分（湊微分）、第二換元積分、分部積分、有理函數(shù)積分及三角函數(shù)有理式積分等方法，其中尤以“湊微分法”及“分部積分法”最為常用，也最為重要。

近年來(lái)，隨著入學(xué)“門(mén)檻”的降低以及教學(xué)課時(shí)的減少，對(duì)形如的積分，在給出湊微分法和分部積分法后，由于兩種方法均有“湊”微分的過(guò)程，致使許多初學(xué)積分的學(xué)生在面對(duì)綜合問(wèn)題時(shí)，不能快速準(zhǔn)確地選擇湊微分因子，也不能快速準(zhǔn)確地判斷“湊”微分后采用哪種計(jì)算方法，在運(yùn)算時(shí)多走了彎路，也浪費(fèi)了時(shí)間。針對(duì)上述問(wèn)題，我們?cè)趥鹘y(tǒng)的“通過(guò)大量例題來(lái)分別講解湊微分法與分部積分法的運(yùn)用”的教學(xué)模式基礎(chǔ)上，將兩種方法聯(lián)系起來(lái)，提出了易于學(xué)生理解和掌握的“拆選湊判”法，以求提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

1 正確理解“拆選湊判”法

“拆”——將被積函數(shù)拆成兩個(gè)函數(shù)乘積的形式。

即。

“選”——在f (x)與g (x)中選擇湊微分因子。

首先在f (x)與g (x)中選取簡(jiǎn)單易于拼湊（即原函數(shù)易求）的乘積因子作為湊微分因子；若f (x)與g (x)都易于拼湊或都難于拼湊，則按反三角函數(shù)＞對(duì)數(shù)函數(shù)＞冪函數(shù)＞指數(shù)函數(shù) = 三角函數(shù)的優(yōu)先級(jí)別選取，選擇優(yōu)先級(jí)別低的乘積因子作為湊微分因子，優(yōu)先級(jí)別高的乘積因子作為被積函數(shù)，優(yōu)先級(jí)別相同時(shí)可任選一個(gè)因子作為湊微分因子。

“湊”——將選中的湊微分因子與拼湊（即求湊微分因子的一個(gè)原函數(shù)），形成新的積分變量，將其形式記為：。

“判”——判斷是用湊微分法還是分部積分法來(lái)計(jì)算。若v (x)含于u (x)中，即v (x)是u (x)的中間變量，則用湊微分法計(jì)算；若v (x)優(yōu)先級(jí)別低于u (x)，則用分部積分法計(jì)算。

2 “拆選湊判”法應(yīng)用實(shí)例分析

例1．

解：按上述方法分析，“拆”——x·(2x2 - 5)5被積函數(shù)很顯然拆成的形式；“選”——x相對(duì)簡(jiǎn)單，原函數(shù)易求，選x為湊微分因子；“湊”—— dx2拼湊得，x2是新的積分變量；“判”——x2含于(2x2 - 5)5中，是(2x2 - 5)5的中間變量，應(yīng)采用湊微分法計(jì)算。

故：原式 == (2x2 - 5)5d(2x2 - 5)=+ c + c

例2．

解：按上述方法分析，“拆”——被積函數(shù)很顯然拆成cos·x- 的形式；“選”—— x- 相對(duì)簡(jiǎn)單，原函數(shù)易求，選x- 為湊微分因子；“湊”——拼湊得2d，是新的積分變量；“判”—— 含于cos中，是cos的中間變量，應(yīng)采用湊微分法計(jì)算。

故：原式 == = 2 sinu + c 2 sin + c

在運(yùn)用熟練后，湊微分法中的“換元”和“回代”兩個(gè)步驟是可以省略的，這會(huì)大大提高解題速度。

本文中“選”和“判”準(zhǔn)則是“拆選湊判”法的精髓，是筆者根據(jù)多年的高數(shù)教學(xué)實(shí)踐總結(jié)得出，具有一定的新意，歷年來(lái)教學(xué)效果都不錯(cuò)。為了更好的說(shuō)明這一點(diǎn)，下面我們?cè)賮?lái)看兩道例題。

例3． ，例4．

觀察可知：二者被積函數(shù)可分別拆成xgex與xg的形式，均是與指數(shù)函數(shù)相乘，形式相似。那么是否二者計(jì)算方法也相同？能否一次快速準(zhǔn)確的計(jì)算出結(jié)果？“選”和“判”準(zhǔn)則可以快速準(zhǔn)確的幫我們解決這兩個(gè)問(wèn)題。

分析：根據(jù)“選”的準(zhǔn)則，在x與ex兩個(gè)因子中，二者原函數(shù)均易求，故按優(yōu)先級(jí)別來(lái)選湊微分因子，因?yàn)閮绾瘮?shù)優(yōu)于指數(shù)函數(shù)，應(yīng)選ex為湊微分因子進(jìn)行拼湊；在x與兩個(gè)因子中，x相對(duì)易于求得原函數(shù)，選x為湊微分因子進(jìn)行拼湊。

拼湊后，前者為xdex；后者為dx2。根據(jù)“判”的準(zhǔn)則可知：前者中ex優(yōu)先級(jí)別低于x，應(yīng)采用分部積分方法計(jì)算；后者中x2是的中間變量，應(yīng)采用湊微分法計(jì)算。

則：

對(duì)于這種被積函數(shù)形式相似，但運(yùn)算方法不同的積分問(wèn)題，借助本文的“選”和“判”準(zhǔn)則可以讓我們快速準(zhǔn)確的計(jì)算出結(jié)果。

3 “拆選湊判”法運(yùn)用成效

所列舉實(shí)例，看起來(lái)分析過(guò)程較繁瑣，實(shí)際上當(dāng)學(xué)生熟練掌握此法后，其中的“拆”、“選”、“判”三步以及一些簡(jiǎn)單的過(guò)渡運(yùn)算過(guò)程，只需在頭腦中思索即可，紙上呈現(xiàn)的僅是簡(jiǎn)潔的運(yùn)算過(guò)程。“拆選湊判”法融合了眾多繁瑣的湊微分法和分部積分法規(guī)則，其中“選”、“判”兩個(gè)關(guān)鍵步驟更獨(dú)具新意。此法最大意義在于，以一種直觀、簡(jiǎn)潔、易掌握的形式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，幫助學(xué)生快速準(zhǔn)確選擇湊微分因子及計(jì)算方法，避免了在運(yùn)算中反復(fù)拼湊試驗(yàn)的過(guò)程，在很大程度上提高了學(xué)生解題的速度和準(zhǔn)確率，具有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

[1]周泰文，王東生.微積分題解（上冊(cè)）[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社，2001.

[2]騰加俊，騰興虎，廖洪林.微積分輔導(dǎo)及習(xí)題精解（上冊(cè)）[M].西安:陜西師范大學(xué)出版社，2005.

[3]林亞河．“知識(shí)條件化”與不定積分計(jì)算[J]．赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008（24）．