矩陣的對角化與Fibonacci數列

摘要對角化矩陣不僅與線性變換有著密切關系，而且在數學及其他科學技術領域有廣泛應用。本文全面詳細地給出了矩陣對角化的判定定理，著重介紹了矩陣的對角化在研究Fibonacci 數列中的應用。

關鍵詞 矩陣 對角化 Fibonacci 數列

中圖分類號：O17文獻標識碼：A

Matrix Diagonalization and Fibonacci Sequence

ZHANG Yan， KOU Bingyu

(Mathematics and Science Department of Science School， the People's Liberation

Army University of Science and Engineering， Nanjing， Jiangsu 211101)

AbstractThe diagonalization matrix not only has close relationship with linear transformation， and it was widely applied in mathematics and other science and technology domain. This paper introduces decision theorem in details， introduces application of diagonalization of matrix in Fibonacci sequence.

Key wordsmatrix; diagonalization; Fibonacci; sequence

1 矩陣對角化定義及判定定理

定義設A是n階矩陣，若存在可逆矩陣P，使得P-1AP = diag(1，2，…，n)，則稱A可對角化(或稱A與對角矩陣相似)。

定理1設A是n階矩陣，A可以對角化

A有n個線性無關的特征向量。

A的最小多項式無重根。

A的不變因子無重根。

A的初等因子全為1次的。

A的每個重特征根所對應的線性無關的特征向量的個數=特征根的重數。

r (E - A) = n - k，其中k為A的任意特征根的重數。

r (E - A) = r(E - A)2，其中k為A的任一特征根。

A的任意特征根i，(iE - A)與(iE - A)2的值域相等或它們的核相等。

推論若n階矩陣A的n個特征值互不相等，則A與對角矩陣相似。

定理2設1，2，…，t是A的全部互異的特征根，(i = 1，2，…，t)為(iE - A)X = 0的一個基礎解系，則A可對角化

s1 + s2 + … +st

dim= n，其中是i的特征子空間，i = 1，2，…，t

定理3設A為n階實對稱矩陣，則A必可對角化，且存在正交矩陣T使得

T'AT = T-1AT = diag(1，2，…，n)

其中diag1，2，…，n是A的特征根。

定理4設A() = |E - A| = …，(i = 1，2，…s)則A相似于對角陣特征子空間與的核空間的維數相等。

證：設是n維空間V的線性變換，在基1，2，…，n下的矩陣為A，則

因為兩兩互素，所以

從而

因此，A相似于對角陣維數 = 維數Vi。證畢。

2 矩陣對角化的應用

將一個矩陣化為對角矩陣，不但可以簡化運算，而且在理論和應用方面有十分重要的意義，例如，其在求方陣的高次冪、利用特征值求行列式的值、由特征值與特征向量反求矩陣、判斷矩陣是否相似等方面有著相當重要的應用，關于以上方面的應用可參考[1]與[2]。

下面主要來介紹矩陣對角化在Fibonacci（斐波那契)兔子繁殖問題中的應用。

1202年，意大利數學家Fibonacci出版了他的《算盤全書》，他在書中提出了一個關于兔子繁殖的問題：

（1）假定一個月大小的一對兔子（雄和雌的），對于繁殖還太年輕，但兩個月大小的兔子便足夠成。又假定從第二個月開始，每一個月它們都繁殖一對新的兔子（雄和雌的）。

（2）如果每一對兔子的繁殖都按上面說的同樣的方式，并假定中途沒有兔子死去。試問：從開始起，每個月有多少對兔子呢？

如此推算下去，我們發現：（見表1）

由此可知，從第一個月開始以后每個月的兔子總是：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…

若把上述數列繼續下去，得到的數列就是著名的Fibonacci數列。

Fibonacci數列有著廣泛應用，例如：

（1）植物的葉、枝、莖等排列中存在Fibonacci數。例如，圖1的植物稱為薊，其頭部具有13條順時針旋轉和21條逆時針旋轉的螺旋，它們是Fibonacci數列中相鄰的數字，這樣的螺旋稱為Fibonacci螺旋。以Fibonacci螺旋形式排列的種子、花瓣或葉子的植物很多。圖2就是我們經常食用的菜花，具有5條順時針旋轉和8條逆時針旋轉的螺旋。圖3是具有Fibonacci螺旋的松果。

（2）上樓方式。有一段樓梯有10級臺階，規定每一步只能跨一級或兩級，要登上第10級臺階有幾種不同的走法？這就是一個斐波那契數列：登上第一級臺階有一種登法；登上兩級臺階，有兩種登法；登上三級臺階，有三種登法；登上四級臺階，有五種登法……

1，2，3，5，8，13……

所以，登上十級，有89種走法。

對于Fibonacci數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…，在我們學習的過程中，這個數列的通項公式一般是直接給出表達式，只是讓我們證明通項公式成立，有的讀者自然會問，這個公式是如何發現的呢？

下面利用矩陣特征值、對角化工具來解決這個問題，并求 。

如果設F(n)為該數列的第n項(n∈N+)。該數列的遞推關系為F(n + 2) = F(n + 1) + F(n)， n = 0，1，2，…(1)

初始條件為F(0) = 0，F(1) =1。令

(2)

取，則(2)變為Fn+1 = AFn (3)

由(3)得Fn = AnF0 (4)

于是，要求Fibonacci數列的通項公式，只要計算An，我們利用A可對角化來計算An。

A的特征多項式為|E - A| = 2 -- 1，它的兩個根1 = ， 2= 是A的特征值。因此，可以對角化。解齊次線性方程組

得到它的一個基礎解系為

同理可得的一個基礎解系為

令則 于是

(5)

從(4)及初始條件得

(6)

比較(6)兩邊的第2個分量得

這就是Fibonacci數列的通項公式。我們驚奇地發現

這意味著Fibonacci數列相鄰項的比例極限是完美的黃金分割。

3 結束語

矩陣的對角化問題在高等代數中扮演著很重要的角色，對角矩陣作為一類特殊的矩陣，具有很重要的理論意義和應用價值。

參考文獻

[1]北大數學系幾何與代數教研代數小組編.高等代數.北京:高等教育出版社，1998.

[2]李啟文，謝季堅編.線性代數理論與解題方法.長沙:湖南大學出版社，2001.

[3]同濟大學應用數學系.線性代數(第四版).高等教育出版社，2003.

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