讓新課標下的全等變換給幾何的學習插上放飛的翅膀

新課標下的幾何教學讓我感觸最深的是在空間與圖形中引入了幾何變換，通過圖形的平移、軸對稱、旋轉來研究圖形的性質，一下子讓原來嚴謹、刻板的幾何學習頓時充滿了勃勃生機。在一次次的課改實驗課上，看到學生充滿了活力，閃動著探索的靈感和獲得新知的那份快慰，使我深感幾何變換在新課標下給幾何學習帶來的無窮魅力。毋庸置疑，它的優點突出表現在：讓學生在具體觀察、操作、實驗中豐富了數學活動經驗，拓展了學生自主探索和合作交流，在具體的活動中使學生獲得了積極的情感體驗，培養了幾何直覺，并借助直觀進行合情推理和邏輯推理。有鑒于此，以下筆者列舉幾例，從傳統證法和運用幾何變換探究法的比較中感悟全等變換在幾何證明中所發揮的巨大作用。

例1．如圖，正方形ABCD中，P、Q分別在BC、CD邊上，∠PAQ=45°

試探索PQ與DQ、BP之間有何關系?并證明你發現的結論。

分析：（1）題中的點P、Q分別是BC、CD邊上的動點，可考慮特殊位置下的結論。如當P與B重合時，Q與C重合；當P與C重合時，Q與D重合；當△APQ關于AC對稱時均不難發現結論：PQ=DQ+BP。

（2）考慮到把分散的線段DQ、BP集中，將△ADQ按順時針方向旋轉90°，得到△ABE，此時便有DQ+BP=PE，觀察旋轉后的圖形易發現要證的PQ=PE恰好是△AEP與△AQP的對應邊，而這兩個三角形直觀可看出是全等三角形，下面證明此兩個三角形全等即可。

證明：（方法一）

將△ADP按順時針方向旋轉90°得到△ABE，此時P、B、D三點在一條直線上。根據旋轉特征知：AQ=AE，DQ=BE，∠DAQ=∠BAE

∴∠PAQ=45° ∠BAD=90°

∴∠BAP +∠DAQ=45° ∴∠PAE=∠PAQ

在△AEP和△AQP中

∴△AEP≌△AQP

∴PE=PQ ∴PQ=PB+DQ

（方法二）

延長PB到E，使BE=DQ，下面證△ABE≌△ADQ，再證△AEP≌△AOP從而得出結論。

評注：比較這種證法，前者是動態的，具有可操作性，直觀性強，學生較易接受，而后者輔助線的做法往往給人產生抽象、高深莫測的感覺。倘若兩者動靜結合，讓直觀操作提供先導，那么輔助線的產生就會水到渠成，直觀操作誘發靈感得到猜想培養了幾何直覺，步步有據的說理論證使猜想得以證實發揮了幾何演繹推理獨特魅力，兩者相得益彰，豈不美哉?實際教學中，這樣的例子還有很多，請再看下面兩例。

例2．已知點P為矩形ABCD內一定點，是否存在這樣的一個四邊形，四邊分別為PA、PB、PC、PD，對角線分別為AB、BC。

解：存在．

（方法一）將△APD平移到△BQC （如圖）

由平移的特征知：QB=P A、QC=PD、PQ∥AB

又AB⊥BC ∴PQ⊥BC

從而四邊形BPCQ就是符合條件的四邊形．

（方法二）作PQ∥AB且PQ=AB，則四邊形ABQP是平行四邊形

又∵AB∥CD．A B=C D

∴PQ∥CD，P Q=C D

∴四邊形DCQP也是平行四邊形

∴AP=BQ DP=CQ 又AB⊥BC ∴PQ⊥BC

從而四邊形BPCQ就是符合條件的四邊形。

評注：對圖形進行平移變換，通常是平移線段，即作平行線，方法二的輔助線即由此而產生。

總之，新課標教材中引入軸對稱探究等腰三角形的性質，引入平移及旋轉探究四邊形的性質給原來平板、枯燥的平而幾何賦予了可供操作的平臺，讓學生在不斷的觀察、操作、反思中去捕捉思維的靈感，為理論推導開辟方向。古老的幾何有了變換思想的翅膀更具生機和活力，翱翔其中思維將得到進一步地創新和發展。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文