淺談高考數學中的四種數學思想

數學思想是數學知識的核心，是數學的精髓和靈魂，它是對數學概念、方法和理論的本質認識。數學思想蘊涵于數學基礎知識中，表現為數學觀念，它們不僅與數學知識的形成過程同步發生、發展，而且貫穿于數學知識的學習、理解和運用過程當中。正因如此，對數學思想的考查是考查考生能力的必由之路。研究近年來的高考數學試卷，不難發現高考中著重考查以下四種數學思想：函數與方程的思想、數形結合的思想、分類與整合的思想、化歸與轉化的思想。高考中是如何考查這些數學思想呢？筆者現結合近年來的高考試題作些探討。

一、函數與方程的思想

（一）要點概述

函數是高中代數內容的主干，它主要包括函數的概念、圖象和性質及幾類典型的函數。函數的思想是對函數內容在更高層次上的抽象、概括與提煉，是從函數各部分的內在聯系和整體角度來考慮問題、研究問題和解決問題的。具體來說，就是用運動變化的觀點、集合與對應的思想，即用函數的觀點去分析和研究數學問題中的數量關系，建立函數關系和構造函數，運用函數的圖象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決，它是對函數概念和性質的本質認識。

函數思想與方程思想是密切相關的，函數與方程、不等式是通過函數值等于零、大于零或小于零而相互關聯的，它們之間既有區別又有聯系。函數與方程的思想，既是函數思想與方程思想的體現，也是兩種思想綜合運用的體現，是研究變量與函數、相等與不等過程中的基本數學思想。

（二）在高考中的運用

高考中把函數與方程的思想作為四種思想方法的重點來考查，使用選擇題和填空題考查函數與方程思想的基本運算，而在解答題中則從更深的層次，在知識網絡的交匯點處，從思想方法與相關能力相綜合的角度進行深入考查。

二、數形結合的思想

（一）要點概述

數學研究的對象是數量關系和空間形式，即“數”與“形”兩個方面“數”與“形”兩者之間不是獨立的，而是有著密切的聯系。數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面。

（二）在高考中的運用

高考中的客觀題為考查數形結合思想提供了方便，能突出考查考生將復雜的數量關系問題轉化為直觀的幾何圖形問題來解決的意識。解答題中對數形結合思想的考查以“形”到“數”的轉化為主。

（三）提煉

數形結合思想的應用主要是借助形的主觀性來闡明數之間的聯系，其次是借助數的精確性來闡明形的某些屬性。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取值范圍。

三、分類與整合的思想

（一）要點概述

分類是自然科學乃至社會科學研究的基本邏輯方法，是研究數學問題時經常使用的數學思想方法。要正確對事物進行分類，通常應從所研究的具體問題出發，選擇恰當的分類標準，然后根據對象的屬性，把它們不重不漏地劃分為若干個類別，并逐類求解，然后綜合得解。分類與整合的研究基本方向是“分”，但“分”與“合”既是矛盾的對立面，又是矛盾的統一體，有“分”必然有“合”，當分類解決完這個問題之后，還必須把它們總合起來，因為我們研究的畢竟是這個問題的全體．有“分”有“合”，先“分”而后“合”，不僅是分類與整合思想解決數學問題的主要過程，也是分類與整合思想的本質屬性。

（二）在高考中的運用

有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。

（三）提煉

在高考的解答題中，對含有參數的字母進行分類討論，是高考命題中考查分類與整合思想的熱點，考查函數與引導數的綜合問題中，考查分類與整合思想必不可少。進行分類討論時，要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答分類討論問題的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統一、不漏不重、分類互斥（沒有重復)；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最后進行歸納小結，綜合得出結論。

四、化歸與轉化的思想

（一）要點概述

所謂化歸與轉化的思想是指在研究解決數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而使問題得到解決的一種解題策略。一般情況下，總是將復雜的問題化歸為簡單的問題，將較難的問題轉化為較為容易求解的問題，將未解決的問題轉化為已解決的問題。

（二）在高考中的運用

高考中十分重視對化歸與轉化思想的考查，要求考生熟悉數學變換的思想，有意識地運用數學變換的方法去靈活解決有關的數學問題。高考中重點考查一些常用的變換方法，如一般與特殊的轉化，繁與簡的轉化，構造轉化，等價轉化等。

近年來的高考試題重在考查對基礎知識理解的準確性、深刻性，且著眼于對數學思想的全面考查。高考試題這種積極導向，決定了我們在教學及備考中必須以數學思想指導知識、方法的運用，整體把握各部分知識的內在聯系。只有加強數學思想方法的教學、優化學生的思維，全面提高數學能力，才能提高學生的數學水平及數學素養。“授之以魚，不如授之以漁”，方法的掌握，思想的形成，才能使學生受益終生。

【參考文獻】

［1］ 高慧明.數學思想應用縱橫談[J].中國數學教育，2007（1） .