中學數學思維品質的訓練

一、數學思維靈活性訓練

在中學數學教學中，思維靈活性表現為：善于根據題設中的具體情況，及時地提出新的設想和解題方案。數學上的題目千變萬化，要想既快又準地解出題目，總用一套固定的方案是不行的，必須視其具體情況，靈活確定解題方案，也就是說必須具有思維的靈活性。靈活性主要體現在以下幾個方面：

1.善于觀察

任何一道數學題都有一定的條件和數學關系，要依據題目的具體特征，對題目進行深入的、細致的、透徹的觀察。通過認真思維，透過表面現象看其本質，才能確定思路，找到解題方法。

例如，求和。

觀察它的特征：每項都是兩相鄰自然數的積的倒數，且，這樣，原式就等于

問題很快就解決了。

2. 善于聯想

聯想是問題轉化的橋梁。一般，題目和基礎知識之間的聯系是不明顯的。因此怎樣解題、解題的速度取決于是否由觀察到的特征，靈活運用有關知識，作出相應的聯想。

例如，因式分解

。

若將每個立方式都展開再進行整理進行因式分解，肯定是十分困難的。但是聯想到以前學過的結論：若， 則，問題就會迎刃而解。

3. 善于轉化

數學解題的過程實際上是問題轉化的過程。一般來講，就是把復雜問題轉化為簡單問題，把抽象問題轉化為具體問題，把未知問題轉化為已知問題。

例如，已知

（），求證a，b，c三數中必有兩個互為相反數。

分析一下可看出，要證明的結論可轉化為

恰當的轉化使問題變得熟悉、簡單。

善于觀察、善于聯想、善于轉化是數學思維靈活性的體現，要提高思維靈活性，就應在這三方面作相應的訓練。

二、數學思維批判性訓練

在中學數學教學中，思維的批判性表現在善于提出獨立的見解，能精細地檢查思維過程，不盲從、不輕信。具有這種思維品質的人，在解決問題時能不斷地驗證所給的假設，獲得獨特的解決問題的方法，對發展創造性思維有很大作用。

數學思維批判性主要有以下體現：

1. 對已有的數學表述能提出自己的看法，不盲從附和

在數學上，前人的表述未必都是正確的，善于發現其中的錯誤，就充分體現出思維的批判性。如費爾瑪素數猜想：；歐拉對此猜想不是盲目認可，而是舉出當時，不是素數 ，就是思維批判性極好的例證。

另外，在學生學習過程中，遇到大量的習題，出于種種原因，這些習題中也有不夠完善甚至錯誤的地方。善于發現并指出錯誤，也體現思維的批判性。

例如，已知方程的兩個根是和；求k值。如果應用韋達定理，容易算出k=40。

但在使用韋達定理時，要有，而事實上，對一切，總有，因而滿足題設的k是不存在的。那么，能及時發現這種問題，說明思維的批判能力較強。

2. 能嚴密地、全面地利用已知條件，能及時、迅速地自我反饋

思維的批判性不只是對人，對己也要經常審視，及時審視自己的解題過程，能使思維活動減少盲目性，增強主動性，保證思維結果準確。

3. 構造反例，駁倒認為不真的命題

首先對一些命題（如猜想），要用批判的態度去分析，要善于構造反例，以推翻一些不真的命題。在審視前人的已有結果時，也應用批判性的態度去分析解題（證題）過程，發現其中的不足，不斷加以完善和改正。

三、數學思維廣闊性訓練

數學思維廣闊性指的是對一個問題能從多方面考慮，對一個對象能從多角度觀察，對一個題目能得到多種不同的解法。

對中學生來說，思維的廣闊性的訓練是極為重要的環節，因為數學是一個有機整體，它的各部分之間存在概念的親緣關系。學生在學習每一分支時，注意了橫向聯系，把親緣關系結成一張網，就起到覆蓋全部內容，使知識融會貫通的作用。而橫向聯系主要靠思維的廣闊性來實現。通過不同的方法解決同一問題，可以開拓思路，鞏固知識，還可以激發學習積極性，提高學生學習數學的興趣。

1. 一題多解

例如，平面幾何中“四點共圓”問題，就可以利用下面的方法來證明：

①到定點的距離等于定長的四點共圓；

②對角互補的四邊形四頂點共圓；

③外角等于內對角的四邊形四點共圓；

④同底、同側、等頂角的兩個三角形構成的四邊形四點共圓；

⑤滿足相交弦定理結論的四點共圓；

⑥滿足切割線定理結論的四點共圓。

進行這樣的訓練，可使學生全面掌握這部分知識。

2. 一題多義

這里的多義，指的是一題有多種解釋。例如，函數式可以有如下幾種解釋：

①可看成自由落體公式；

②可看成動能公式；

③ 可看成熱量公式.

再如“1”這個數字，可根據具體需要變成多種形式：，，，，等等。

要啟發學生思維廣闊，就要克服學生的思維單一，要教會學生除了正面思維之外的其他思維方式，比如逆向思維、聯想等等。

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