萬有引力教學(xué)中應(yīng)注意的幾個(gè)問題

萬有引力定律揭示了自然界中物體間普通存的一種基本相互作用規(guī)律和行星運(yùn)動的本質(zhì)原因，從此把地上運(yùn)動和天上的運(yùn)動聯(lián)系了起來。萬有引力定律的具體應(yīng)用有：根據(jù)其規(guī)律發(fā)現(xiàn)新的天體，測天體質(zhì)量，計(jì)算天體密度，研究天體的運(yùn)動規(guī)律，同時(shí)也是現(xiàn)代空間技術(shù)的理論基礎(chǔ)。此部分也是教學(xué)的難點(diǎn)。學(xué)生學(xué)習(xí)此部分內(nèi)容時(shí)普遍反映公式變化較多，關(guān)系復(fù)雜。根據(jù)本人實(shí)踐感覺到，在教學(xué)中如能讓學(xué)生注意弄清以下幾個(gè)問題，就可以很好地掌握這一部分內(nèi)容：

一、不同公式中r的區(qū)別

萬有引力定律公式中的r指兩個(gè)物體間距離，對于相距很遠(yuǎn)可看成質(zhì)點(diǎn)的物體來說，即為兩質(zhì)點(diǎn)間的距離；向心力公式中的r，對于橢圓軌道來說指曲率半徑，對于圓軌道來說是圓半徑，對于球形天體來說指天體半徑。

例1：如圖，兩個(gè)靠得較近的恒星稱為雙星，這兩顆星必須以一定的速度繞某一中心轉(zhuǎn)動才不至于因萬有力而吸在一起。已知雙星為球體，半徑分別為r1，r2，密度均為，相距為ρ，且，引力常量為G。

求：（1）雙星轉(zhuǎn)動中心位置。

（2）雙星轉(zhuǎn)動周期。

解析：（1）雙星中的任何一顆恒星，其作圓周運(yùn)動的向心力由兩者間萬有引力提供，設(shè)雙星轉(zhuǎn)動的中心位置O，距星a為r'，由，，，

（2）

二、自轉(zhuǎn)周期與公轉(zhuǎn)周期

自轉(zhuǎn)周期是天體繞自身某軸線轉(zhuǎn)動一周的時(shí)間，公轉(zhuǎn)周期是衛(wèi)星等繞中心天體做圓周運(yùn)動一周的時(shí)間，它們一般情況下不相等，如地球自轉(zhuǎn)周期24小時(shí)，公轉(zhuǎn)周期365天，在應(yīng)用中要注意區(qū)分。

例2：已知太陽光射到地球需要時(shí)間，地球同步衛(wèi)星高度，試估算太陽和地球的質(zhì)量。

解：設(shè)太陽質(zhì)量M1，地球質(zhì)量M2，衛(wèi)星質(zhì)量M，地球公轉(zhuǎn)周期T，自轉(zhuǎn)周期T1。

地球繞太陽圓周運(yùn)動：，

C為光速，

衛(wèi)星繞地球圓周運(yùn)動：

三、穩(wěn)定運(yùn)行和變軌運(yùn)動

衛(wèi)星繞天體穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，萬有引力提供衛(wèi)星作圓周運(yùn)動的向心力，由，得，由此，軌道半徑r越大，衛(wèi)星運(yùn)行速度越小。當(dāng)衛(wèi)星由于某種原因速度突然改變時(shí)，F(xiàn)和不相等。

因此不成立。當(dāng)時(shí)，衛(wèi)星做近心運(yùn)動；當(dāng)衛(wèi)星做離心運(yùn)動。

例3：如圖，發(fā)射一顆赤道平面上衛(wèi)星，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后點(diǎn)火使其在橢圓軌道2上運(yùn)動，最后再次點(diǎn)火將衛(wèi)星送入預(yù)定圓軌道3，軌道1、2相切于A點(diǎn)，軌道2、3相切于B點(diǎn)，則當(dāng)衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運(yùn)動時(shí)，下列說法正確的是（ ）

A、衛(wèi)星在3上的周期大于在軌道1上周期

B、衛(wèi)星在3上的速度大于在軌道1上速度

C、衛(wèi)星在2上運(yùn)行時(shí)，經(jīng)過A時(shí)的速度大于經(jīng)過B時(shí)的速度

D、衛(wèi)星在2上運(yùn)行時(shí)，經(jīng)過A點(diǎn)的加速度大于經(jīng)過B點(diǎn)的加速度

解析：A、B穩(wěn)定運(yùn)行， ，A正確

， B錯(cuò)誤

C、變軌運(yùn)行，A點(diǎn)開始離心運(yùn)動，B點(diǎn)開始向心運(yùn)動，C、正確，

D、由，，C正確

四、同步衛(wèi)星和一般衛(wèi)星

地球同步衛(wèi)星和其他衛(wèi)星雖然都繞地球運(yùn)動，軌道平面均過地心，但它們間有著明顯區(qū)別。

地球同步衛(wèi)星是相對于地面靜止和地球自轉(zhuǎn)方向、自轉(zhuǎn)周期都相同的衛(wèi)星，它只能在赤道平面內(nèi)，它的繞行速度、加速度、離地面高度都為定值。而一般衛(wèi)星軌道平面，繞行速度、加速度離地高度可以不同。

例4：均勻分布在地球赤道平面上空的三顆同步通信衛(wèi)星能夠?qū)崿F(xiàn)除地球南北極等少數(shù)地區(qū)外的“全球通信”。已知地球半徑R，地球表面重力加速度g，地球自轉(zhuǎn)周期T，則三顆衛(wèi)星中任意兩顆間距為多少？

解：設(shè)地球質(zhì)量M，衛(wèi)星軌道半徑r，衛(wèi)星向心力由萬有引力提供

（1）地面附近有：

（2）

（3）

五、赤道上物體與近地衛(wèi)星

放在赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)受兩個(gè)力作用，一個(gè)受地球引力，另一個(gè)地面對其支持力，這兩個(gè)力的合力提供物體作圓周運(yùn)動的向心力。

即，這里F＝mg，物體向心力加速度很小，，地面附近重力加速度很大，，繞天體運(yùn)行的衛(wèi)星，只受一個(gè)引力作用，衛(wèi)星中的物體處于完全失重狀態(tài)，故，衛(wèi)星的向心力速度a等于衛(wèi)星所在處的重力加速度，對近地衛(wèi)星，。

例5：用彈簧秤在地球兩極和赤道稱同一物體，示數(shù)分別為和，要使赤道上的物體“飄”起來，則地球自轉(zhuǎn)角速度，應(yīng)為原來的多少倍？

解：設(shè)地球質(zhì)量M，地球半徑R，兩極重力加速度，赤道重力加速度

在兩極：

赤道：

赤道上物體飄起來，

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