數(shù)學(xué)思想方法的一支奇葩

摘 要:在全面實(shí)施素質(zhì)教育的大背景下，對以往教學(xué)觀念發(fā)起了挑戰(zhàn)，“填鴨式教學(xué)”、“題海戰(zhàn)術(shù)”只能是效率低下無賴的教學(xué)模式，還嚴(yán)重扼殺學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。本人在多年初中數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)上，結(jié)合本校學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的實(shí)際，提出了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維途徑和方法。

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)猜想猜想途徑猜想方法

中圖分類號:G62文獻(xiàn)標(biāo)識碼:Ａ文章編號:1674-098X(2011)09(b)-0165-01

《初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生:能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)，給出證明或舉出反例。猜想是數(shù)學(xué)的靈魂，合理的猜想是解決數(shù)學(xué)問題的開始，大膽的數(shù)學(xué)猜想也是解決數(shù)學(xué)問題的源泉，也是新時期數(shù)學(xué)教師側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一個方面，本人認(rèn)為其中重要的一個環(huán)節(jié)就是數(shù)學(xué)猜想。

1 數(shù)學(xué)猜想的概念

1.1 什么是數(shù)學(xué)猜想

在數(shù)學(xué)中，任何一個定理，只要不是其他數(shù)學(xué)定理的直接推論，就可以經(jīng)過猜想而建立起來。猜想有一定的事實(shí)依據(jù)，包含著以事實(shí)作為基礎(chǔ)的可貴的想象成分。一個猜想越大膽，它所包含的想象成分就越多。

數(shù)學(xué)猜想就是依據(jù)某些已知事實(shí)和數(shù)學(xué)知識，對未知量及其關(guān)系所出的一種推斷，是數(shù)學(xué)中的合情推理。波利亞指出:數(shù)學(xué)中有“論證推理和合情推理”兩種推理，它們是思維的兩種形式、兩個方面，它們之間并不矛盾，在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明過程中起交互作用。在嚴(yán)格的推理之中，首要的事情是區(qū)別證明與推測，區(qū)別正確的論證與不正確的嘗試;而在合情推理中，要區(qū)別理由較多的推測與理由較少的推測。所以說，數(shù)學(xué)猜想是合情的推理，而不是不合理的亂猜。

1.2 數(shù)學(xué)猜想實(shí)現(xiàn)途徑

猜想大致可分為如下幾種形式:①類比性猜想;②歸納性猜想;③對稱性猜想;④仿造性猜想;⑤逆向性猜想。

實(shí)現(xiàn)猜想的途徑，可以是探索試驗(yàn)、類比、歸納、構(gòu)造、聯(lián)想、審美以及它們之間的組合等。數(shù)學(xué)猜想是有一定規(guī)律的，如類比的規(guī)律、歸納的規(guī)律等，并且要以數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn)為支柱。在證明一個數(shù)學(xué)問題之前，應(yīng)猜想這個問題的內(nèi)容;在完全做出詳細(xì)證明之前，應(yīng)先得猜想證明的思路。

2 數(shù)學(xué)猜想的方法

2.1 直覺猜想

讓學(xué)生觀察實(shí)物模型和動手實(shí)驗(yàn)，根據(jù)觀察、理解和分析，在已有的感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上提出合理的猜想，這是直覺思維的重要機(jī)能之一，直覺猜想是創(chuàng)新思維的重要成份，人們是從突然的啟發(fā)和非理性思考的預(yù)感中得到幫助的。。培養(yǎng)學(xué)生的直覺猜想，首先要教會學(xué)生掌握基本知識，特別是知識的結(jié)構(gòu)，擴(kuò)大知識視野，盡可能讓學(xué)生利用已有的知識經(jīng)驗(yàn)，憑直覺嘗試解決問題。

2.2 類比猜想

類比猜想是根據(jù)兩個事物之間類似或相同的特點(diǎn)，猜想出它們類似或相同的規(guī)律的一種數(shù)學(xué)思想方法。，課堂教學(xué)活動中應(yīng)重視類比猜想。如根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)類比猜想分式的基本性質(zhì);由平行四邊形的性質(zhì)類比猜想矩形的性質(zhì)，運(yùn)用類比猜想的一般思路是:“觀察——聯(lián)想——類比——猜想，”在這一過程中聯(lián)想是基礎(chǔ)，類比是關(guān)鍵，猜想是飛躍。

2.3 歸納猜想

歸納猜想是數(shù)學(xué)中提示科學(xué)規(guī)律的重要方法之一，它由特殊到一般，把個別事物的特征上升到一類事物特征，再用一般特征去指導(dǎo)個別事物的特征。教學(xué)時要充分揭示結(jié)論的發(fā)展和得出過程，重視學(xué)生觀察能力和歸納能力的培養(yǎng)。一般地，在教學(xué)過程中我們可采用“先退后進(jìn)”的思想，通過特例，我們來研究該類事物的本質(zhì)，從而歸納出問題的規(guī)律和性質(zhì)。

2.4 演繹猜想

在我們平時解題過程中，如果一時不能明確解題方法，則可通過審題、觀察，結(jié)合我們已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，提出一個臨時性的猜想，然后以這個猜想為依據(jù)進(jìn)行推理，這就是演澤猜想法，如果這個推理過程出現(xiàn)了錯誤，那么，就應(yīng)重新提一個猜想，重新演澤，通過不斷修正，不斷探索，不斷逼近正確結(jié)論，最后得到一個可靠的結(jié)論為止。

2.5 仿造猜想

仿造性猜想是指由于受到其它學(xué)科中有關(guān)客觀事物、模型中方法的啟示，依據(jù)它們對數(shù)學(xué)現(xiàn)象或問題之間的類似性，作出有關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)律或方法的猜想。如從屋頂?shù)娜切螤畈孪氤鋈切尉哂蟹€(wěn)定性;由石塊的拋物線的運(yùn)動軌跡猜想二次拋物線的性質(zhì)。另外，如教材中“想一想”、“做一做”可以很好地訓(xùn)練學(xué)生仿例猜想能力。

3 數(shù)學(xué)猜想的應(yīng)用

首先，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和增強(qiáng)學(xué)習(xí)動力。興趣是學(xué)習(xí)的最好老師，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和前提。

其次，有利于更為透徹地理解和掌握數(shù)學(xué)知識。數(shù)學(xué)課本中的很多定理和方法，絕大多數(shù)是由為數(shù)不多的特例，通過觀察、歸納、猜想，最后才是給出證明。教師在講授這些結(jié)論時，不要先把結(jié)論拋給學(xué)生，可同學(xué)生一起參與歸納猜想。反之，如果教師直接將這些結(jié)論拋給學(xué)生，學(xué)生就會感到很突然，而通過歸納猜想得出結(jié)論就顯的很自然。

例如在講解圓與圓的位置關(guān)系時，教師可以給大家演示兩個圓由遠(yuǎn)到近的移動過程，讓學(xué)生觀察它們位置的變化，由此猜想出它們大概有幾種位置，然后讓大家討論各自猜想的依據(jù)，他們很快就會得出:位置是由交點(diǎn)個數(shù)決定的，有利于更快捷地尋找解題思路。

最后，數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中不可缺少的一環(huán)節(jié)，是數(shù)學(xué)思維的基本要素，歸納和類比是兩種主要表現(xiàn)形式。數(shù)學(xué)史上的許多重要成就都是借助于數(shù)學(xué)猜想獲得的，各種數(shù)學(xué)新觀念的產(chǎn)生，都或多或少有他們的作用。

牛頓曾說:沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。由此可見，猜想在人類發(fā)明創(chuàng)造中的地位非同一般，假如沒有猜想，牛頓就不會發(fā)現(xiàn)萬有引力;假如沒有猜想愛因斯坦就不會發(fā)現(xiàn)相對論;假如沒有猜想，陳景潤就完成不了《哥達(dá)巴赫猜想》。正因?yàn)橛辛瞬孪耄覀兊乃季S才有了飛翔的翅膀;有了猜想，我們才有創(chuàng)新的空間和原動力。雖然，猜想是直觀判斷，但決不是盲目亂猜，它是在一定知識結(jié)構(gòu)中提出，以扎實(shí)的基礎(chǔ)知識為依據(jù)，教學(xué)時要注重猜想的情境，層次，使學(xué)生不僅把知識掌握牢固，而且能受到科學(xué)發(fā)現(xiàn)和方法教育，從而培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力。

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