關于數學和物理學中的一些常數的有趣猜測

摘 要:通過數值計算，尋找數學和物理學中的一些常數在數值上存在的相互聯系，并探討一種新的帶電粒子存在的可能性。

關鍵詞:數學常數 物理學常數 等式 猜測 亞電子

中圖分類號:O1文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)04(a)-0136-02

眾所周知，數學中有一些常數，最古老也最著名的當數圓周率π，其取值為3.141592653…。其他有名的數學常數還包括自然對數的底數e(有時也被稱為歐拉數)，取值為2.718281828…;黃金比例，取值為1.618033988…;超黃金比例，取值為1.465571231…;分析數學中的重要常數——歐拉常數，取值為0.577215664…;還有前些年建立起來的混沌理論中的費根鮑姆常數δ，取值為4.669201609…。上述常數大多為無理數，因此無法知道他們的確切值。前人曾給出π的近似值，如、以及，e的近似值和。

人們在學習這些數學常數的過程中，有可能會問這樣一個問題，既然可以用上述分數去估算π和e的近似值，是否也可以用其中的一些常數去估算另外的常數的近似值？也就是說，這些重要的數學常數在數值上有無相互聯系呢？對于這一問題，我們通過數值計算就可以看到，在不同的精確程度內這些數學常數于數值上的確存在一定的相互聯系，如π，π2e，4π，，。這些等式分別涉及不同數目的數學常數，且都和π有關。但是相對于前人用及來估算π的近似值、用來估算e的近似值而言，由上述五個等式給出的π或e的近似值，與實際的π或e值的相符程度均較差。這里，作者給出另外六個同樣由數值計算得到的、也與上述數學常數相關聯的等式:

(1)

式中3.142950287，e2.718284927;

(2)

式中3.141592248;

(3)

式中3.141591497，e2.71828283;

(4)

式中3.141592548;

(5)

式中3.141592652，e2.718281825，4.66920161;

(6)

式中0.577215664，1.465571232，1.618029295。

我們都知道數學是一門非常精確的科學，而上述六個由數值計算得到的關于某些數學常數的等式，也依然只是在一定范圍內近似成立，雖然彼此相符的程度有很大提高，但由于這些等式仍都是由數值計算得到的，所以依舊只能將這樣的等式看做純屬偶然的巧合，或許并不能由此就認為這些等式具有特別的意義。而且作者相信，類似的等式會有很多。尋找這些等式的嘗試和努力，可能會有助于加深人們對相關數學常數的記憶和理解，還可能有助于提高人們對學習相關數學知識的興趣。

大家也許已經注意到上面所述的某些數學常數與物理學也關系密切，頻繁出現于眾多的物理定律和公式中。如π出現在庫侖定律、麥克斯韋方程組、普朗克黑體輻射定律、薛定諤方程、海森堡不確定關系式、愛因斯坦廣義相對論引力場方程中，e也出現在普朗克黑體輻射定律和玻耳茲曼方程中，等等。相對于以上幾個數學常數而言，物理學中的常數種類更多。不同的物理學常數出現在相應的物理學領域內，其數值由相關的物理實驗確定，而且這些常數絕大多數是有量綱的。也就是說，其數值大小取決于人們所采用的單位。因此，這樣的數值并沒有普遍的意義。但是人們可以根據一些有量綱的物理學常數去構造某些無量綱的常數，某些在所有單位制中數值都相同的常數，如原子物理學中的精細結構常數。目前的取值為137.035999679，這是現代物理學中一個非常著名的無量綱常數。

近年來，作者通過大量的數值計算，也找到一些與上述等式相類似的、和幾個物理學基本常數及圓周率π以及費根鮑姆常數δ密切相關的等式。比如下式:

(1)

式中為普朗克恒量，C為真空中的光速，為牛頓引力常數，為強相互作用耦合常數且，為表征弱相互作用的費米常數，即為表征電磁相互作用的精細結構常數。(1)式中的取值為137.0358802。

又比如下面的質量公式:

(2)

式中n=1、2、3為代量子數，為普朗克質量，而分別為公式(2)對于電子、μ輕子和τ輕子靜質量的計算值—— 0.510985及105.652322和1776.933647。電子、μ輕子和τ輕子是物理實驗已經先后確認的所謂基本粒子，實驗給出的靜質量值分別是0.510998910和105.6583668和1776.99。這和前面的公式(2)給出的計算值符合得很好。但我們也都知道，公式(1)涉及的四種相互作用中的三種(引力相互作用除外)以及基本粒子的運動規律由高能物理學中的標準模型理論描述，而公式(1)、(2)并不是從標準模型理論或其他目前已知的物理學理論中得出的，且這兩個公式均含有牛頓引力常數，所以盡管其計算值與相關的物理實驗結果相符，也仍然只能將這些公式所表述和反應的內容看做是對于一些物理學常數和數學常數以及某些物理實驗結果這三者的有趣猜測，這其中就包括對公式(2)中代量子數n的一些思考和探討。目前輕子及夸克這些基本粒子被分成三代主要是相關的高能物理實驗的結果——按帶電輕子靜質量從小到大的排列順序、同時也是帶電輕子在物理實驗中先后被確認的順序，還有所謂的輕子與夸克之間存在的對稱性。理論上對此并沒有非常堅實可信的證據。標準模型理論也并不包含公式(2)中所謂的代量子數n。這說明我們現在對于這個所謂的代量子數n還缺乏足夠的理解和認識。如代量子數的物理本質是什么？究竟可以取哪些值？是否也可以為零？另外，既然已有的物理實驗確認了有靜質量比電子大的“胖電子”——μ輕子和τ輕子存在——他們的靜質量相差很大、但它們的物理性質卻非常相似，那么有沒有質量比電子小的“瘦電子”存在呢？前面的分析已經表明，我們現在還不能明確公式(1)、(2)正確與否。這里，我們先假定這些公式是正確的。由于公式(2)中的n取值為零是數學上允許的，我們便可試著由公式(2)計算出當n=0時，m0≈201。也即公式(2)允許靜質量約為201這樣的粒子存在，我們暫且稱這樣的粒子為亞電子——靜質量比電子的靜質量小很多的“瘦電子”。在考慮到該靜質量值是從公式(2)中的得出的，而公式(2)已經給出了與物理實驗結果很相符的三代帶電輕子的靜質量的近似值，所以我們期望如果上述靜質量約為201的亞電子真的存在，其所攜帶的電荷會與現在已知的帶電輕子相同;又因為其靜質量遠比電子的靜質量小，所以相信它也會象電子一樣穩定。但因亞電子的存在破壞了物理實驗已經確認的輕子與夸克之間存在對稱性這一事實，所以亞電子與目前已知的帶電輕子的性質應該會有所不同，也許很不相同。顯而易見，以上這些問題都只能由今后相關的物理實驗去評判和解答了。

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