中考數學中的探索型問題分析

摘要:本文主要談了中考中數學探索型問題的分類、解題的思路，以及選用近年來中考中出現的探索型問題來說明如何解答探索型問題。

關鍵詞:中考數學探索問題

中圖分類號:G623文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)06(c)-0130-01

近年來，中考試題中頻頻出現探索型問題，這類問題需要學生通過自己的觀察、聯想、分析、比較、歸納、概括來發現解題條件、結論或結論成立的條件。這類問題有利于學生主體意識及主體能力的形成和發展，有利于培養學生形成獨立的價格品質。因此教師在平時的教學中，應從探索此類問題的基本題型入手，向學生闡明解決這類問題的基本思路。

通常情景中的“探索”型問題可以分為如下類型:(1)條件探索型——結論明確，需探索發現使結論成立的條件的題目。(2)規律探索型——在一定的條件狀態下，需探索發現有關數學對象所具有的規律性或不變性的題目。(3)存在探索型——在一定的條件下，需探索發現某種數學關系是否存在的題目。

由于題型新穎、綜合性強、結構獨特等，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個角度考慮。

(1)利用特殊值進行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規律。(2)反證法，即假設結論成立，根據假設進行推理，看是推導出矛盾還是能與已知條件一致。(3)分類討論法。當命題的題設和結論不惟一確定，難以統一解答時，則需要按可能出現的情況做到既不重復也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結論綜合歸納得出正確結果。(4)類比猜想法。即由一個問題的結論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結論或解決方法，并加以嚴密的論證。

1 條件探索型

例1:如圖1，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分別為E、F。

(1)求證:DE=DF;(2)只添加一個條件，使四邊形EDFA是正方形。請你至少寫出兩種不同的添加方法。(不另外添加輔助線，無需證明)

分析:此題第(2)小題是一道條件探索性問題。要使四邊形EDFA是正方形，只要根據正方形的判定，就能得出答案。此題答案不唯一，如四邊形AFDE是平行四邊形;∠A＝90°。(或DE⊥DF或F為AC中點或DF∥AB等)

2 規律探索型

例3:觀察下列等式:

1×3＝12+2×1，

2×4＝22+2×2，

3×5＝32+2×3，

……

請你將猜想到的規律用自然數n(n≥1)表示出來:

解:觀察比較以上各等式，等式的左端是兩個因數的乘積，一個因數依次是1，2，3，…，后一個因數依次是3，4，5，…，它們都是連續的，且后面一個因數比前一個因數均大2;等式的右端是兩項的和，前一個加數依次為12，22，32，…，后一個加數依次為連續的自然數2倍。因而猜想到的規律用自然數n(n≥1)表示為:

n(n+2)=n2+2n

例4:如圖2，在直角坐標系中，第一次將△OAB變換成△OA1B1，第二次將△OA1B1變換成△OA2B2，第三次將△OA2B2變換成△OA3B3。

已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3);B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)。

(1)觀察每次變換前后的三角形有何變化，找出規律，按此變換規律再將△OA3B3變換成△OA4B4，則A4的坐標是，B4的坐標是。

(2)若按第(1)題找到的規律將△OAB進行了n次變換，得到△OAnBn，比較每次變換中三角形頂點坐標有何變化，找出規律，推測An的坐標是，Bn的坐標是。

分析:認真觀察，不難發現，無論△OAB怎樣變換，A點和B點的坐標保持不變，橫坐標按兩部遞增(即公比為2)，故易得A4的坐標為(16，3)，B4的坐標為(32，0)，依此規律類推，不難推測出An的坐標為(2n，3)，Bn的坐標為(2n+1，0)。

3 存在探索型

例5:如圖3，把矩形ABCD折疊使點C落在AB上的C｀處(不與A、B重合)，點D落在D｀處，此時，C｀D｀交AD于E，折痕為MN。

(1)如果AB=1，BC=，當點C｀在什么位置時，可使△NBC｀≌△C｀AE?

(2)如果AB=BC=1，使△NBC｀≌△C｀AE的C｀還存在嗎？若存在，請求出C｀的位置，若不存在，請說明理由。

解析:(1)當C｀在距A點的時，可使△NBC｀≌△C｀AE。

(3)當矩形ABCD是邊長為1的正方形時，假設存在這樣的C｀，使△NBC｀≌△C｀AE，設AC｀=x，則有:

==>BC｀=NC｀，這與∠B=90°矛盾，假設錯誤，故這樣的C｀不存在。

解答探索型問題，必須在認真審題的基礎上，通過歸納、想象、猜想來進行規律的探索，需要解答者提出觀點與看法，并利用舊知識的遷移、類比發現解題方法，或從特殊、簡單的情況入手，尋找規律，找到解題方法。此類問題有利于培養學生的發散思維，這也是數學綜合應用的能力要求。