一維定長懸索問題的有限元法求解①

摘 要:本文討論一維定長的懸索問題，即長度為L的懸索在均勻載荷力和彈性力作用下產生位移變化，并將其有限元解與真解進行比較，驗證有限元解的有效性和精確性。

關鍵詞:有限元方法懸索問題剛度矩陣

中圖分類號:U448文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)06(c)-0037-01

1 引言

有限元方法[1-3]是求解各種復雜數學物理方程的重要方法，近半個世紀來在工程計算中的作用越來越重要。利用該方法可以獲取復雜工程問題的各種信息，直接對工程設計進行具體評價，還能對工程中出現的問題進行具體詳細的技術分析。如今有限元方法已經成為科學計算、工程設計、產品優化不可缺少的工具。

2 一維定長懸索問題

許多工程問題可以轉化為與之等價的控制方程，通常由其基本方程和平衡方程給出。

2.1 解析解

設模型問題的基本模量為k，作用在懸索上垂直向上的外力為f，懸索沿y軸的正向向上偏移，設荷載f(x)和豎向位移v(x)均為正值，由位移理論知，懸索上的張力T為常數，將y方向上的所有力求和，有(1)

位移理論表明和，可得

(2)

(2)除以，有(3)

(3)中的第一項，有(4)

采用相同的求極限過程可知 (5)

將(4)和(5)代入(3)，得到控制方程

(6)

設和為常數，此時方程為常系數線性方程，有指數形式的解。相應的齊次方程解為(7)

這里，且(6)的一個特解為(8)

聯合(7)和(8)，并由邊界條件，得到問題的解析解

(9)

其變分函數為:

(10)

2.2 有限元的單元剛度矩陣

設橫截面面積為常數，變分函數(10)關于形函數的矩陣形式為

(11)

將(11)中函數關于取極小值，有

.

(12)

一般情形下，由于懸索的橫截面面積不會發生變化，此處刪去面積項、(12)中第一項和第三項，即為

第二項包括了基本模量和形狀函數，相應矩陣可以寫為

積分并合并同類項，得到單元剛度矩陣

懸索發生小位移的完整的單元剛度矩陣為

.

3 數值例子

3.1 有限元解

將長度為L的懸索問題分為11個單元，兩端固定且滿足，。將已知值代入(10)，可得單元剛度矩陣，即。將十一個單元剛度矩陣通過公共節點連接起來，得到12×12階總剛度矩陣，其主對角線元素為，緊靠主對角線的相鄰對角線以上(下)元素為，(其余元素為零)，總右端向量元素為。

引入邊界條件，可以刪去矩陣的第一行、列和第十二行、列，也可以將矩陣的第一行、列和第十二行、列的兩個對角元素置為1，而將其中其他元素置為0;同時將右端項矩陣的第一項和第十二項置為0，通過計算機編程求得節點處的位移值。

3.2 比較有限元解與真解

相對誤差定義為 | 有限元解-真解|/|真解|，則誤差的范數為，各節點解的相對誤差≤10-2。通過表1可以看出，有限元解非常好地逼近真解，其誤差在允許范圍內。

注1．通過總剛度矩陣發現其稀疏性。若總的節點按順序編號，對于總剛度矩陣而言，主對角線兩邊多個位置以外的零項沒有影響，因此系數矩陣是帶狀的，只需要存儲矩陣中位于上半帶內的項。

注2．該問題的單元剛度矩陣是對稱的。在大多數的線性問題中，都出現對稱的系數矩陣，則在計算的過程中只需計算對角線項和對角線以上的項。

3 結語

本文研究有限元方法在一維定長懸索實際問題背景下的簡單應用，通過理論分析和數值試驗證明了有限元法的精確性，獲得的位移離散值非常有效地逼近了真解。

參考文獻

[1]鄒仲康譯.J. N. Reddy，有限元法概論[M].長沙:湖南科學技術出版社，1988.

[2]李開泰，黃艾香，黃慶懷.有限元方法及其應用[M].北京:科學出版社，2006.