一維定長懸索問題的有限元法求解①

摘 要:本文討論一維定長的懸索問題，即長度為L的懸索在均勻載荷力和彈性力作用下產生位移變化，并將其有限元解與真解進行比較，驗證有限元解的有效性和精確性。

關鍵詞:有限元方法懸索問題剛度矩陣

中圖分類號:U448文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)06(c)-0037-01

1 引言

有限元方法[1-3]是求解各種復雜數學物理方程的重要方法，近半個世紀來在工程計算中的作用越來越重要。利用該方法可以獲取復雜工程問題的各種信息，直接對工程設計進行具體評價，還能對工程中出現的問題進行具體詳細的技術分析。如今有限元方法已經成為科學計算、工程設計、產品優化不可缺少的工具。

2 一維定長懸索問題

許多工程問題可以轉化為與之等價的控制方程，通常由其基本方程和平衡方程給出。

2.1 解析解

設模型問題的基本模量為k，作用在懸索上垂直向上的外力為f，懸索沿y軸的正向向上偏移，設荷載f(x)和豎向位移v(x)均為正值，由位移理論知，懸索上的張力T為常數，將y方向上的所有力求和，有(1)

位移理論表明和，可得

(2)

(2)除以，有(3)

(3)中的第一項，有(4)

采用相同的求極限過程可知 (5)

將(4)和(5)代入(3)，得到控制方程

(6)

設和為常數，此時方程為常系數線性方程，有指數形式的解。相應的齊次方程解為(7)

這里，且(6)的一個特解為(8)

聯合(7)和(8)，并由邊界條件，得到問題的解析解

(9)

其變分函數為:

(10)

2.2 有限元的單元剛度矩陣

設橫截面面積為常數，變分函數(10)關于形函數的矩陣形式為

(11)

將(11)中函數關于取極小值，有

.

(12)

一……