數(shù)列極限定義的教學(xué)過程設(shè)計(jì)探討

作者簡(jiǎn)介：顧慶鳳（1979.1），女，碩士，講師，碩士，研究方向：排隊(duì)論。

摘要：數(shù)列極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，理解和掌握好數(shù)列極限的定義對(duì)大學(xué)生高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用，而數(shù)列極限定義中的符號(hào)關(guān)系復(fù)雜，不易理解。為幫助學(xué)生深刻理解數(shù)列極限的定義，我們這里對(duì)數(shù)列極限定義教學(xué)過程的設(shè)計(jì)進(jìn)行了探討。

關(guān)鍵詞：數(shù)列 數(shù)列極限 描述性定義 定義

中圖分類號(hào)： G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X(2011)12(a)-0000-00

數(shù)列極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是高等數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，它是研究微分學(xué)和積分學(xué)的必備工具，對(duì)它的理解和掌握關(guān)系到高等數(shù)學(xué)這門課的學(xué)習(xí)，也關(guān)系到對(duì)后繼課程理解的程度。另外，由于學(xué)生剛?cè)雽W(xué)不久的高等數(shù)學(xué)課就要接觸極限概念，而且數(shù)列極限的定義中符號(hào)關(guān)系復(fù)雜，不易理解，如果不能理解好數(shù)列極限的定義，這將會(huì)影響學(xué)生學(xué)習(xí)高數(shù)的信心。怎樣教數(shù)列極限，才能讓學(xué)生真正了解它的直觀背景，理解它的思想方法，而不至于只是形式地去“理解”它的定義，機(jī)械地去“掌握”它的方法呢？重要的是如何引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)列極限的描述性定義向定義過渡和轉(zhuǎn)化。筆者總結(jié)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)數(shù)列極限定義的教學(xué)過程進(jìn)行了如下設(shè)計(jì)：

1 導(dǎo)入新知—-讓學(xué)生體會(huì)極限的思想方法及極限定義發(fā)生發(fā)展的過程

介紹我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)列極限思想所作的貢獻(xiàn)。如公元前四世紀(jì)，我國(guó)古代的哲學(xué)家莊周所著的《莊子·天下篇》引用過一句話“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)事不竭”，這句話用數(shù)量形式加以描述，便得到每天截去一半所余的尺數(shù)是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，然后啟發(fā)學(xué)生思考由無(wú)窮數(shù)列的變化趨勢(shì)怎樣去解釋“萬(wàn)世不竭”的含義。通過思考，學(xué)生最后得出結(jié)論：“越來越接近0，但永遠(yuǎn)不等于0，所以萬(wàn)世不竭。又介紹我國(guó)魏晉時(shí)期大數(shù)學(xué)家劉徽利用圓的內(nèi)接正多邊形來推算圓的面積的方法—割圓術(shù)，就是用到極限思想研究幾何問題。他首先作圓的內(nèi)接正六邊形，再作圓的內(nèi)接正十二邊形、內(nèi)接正二十四邊形、內(nèi)接正四十八邊形…，當(dāng)邊數(shù)無(wú)限增大時(shí)，從圖形上看，內(nèi)接正多邊形無(wú)限接近于圓，從數(shù)值上看，內(nèi)接正多邊形的面積無(wú)限接近于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是該圓的面積。通過模擬割圓術(shù)，使學(xué)生比較具體的感受到“無(wú)窮數(shù)列的變化趨勢(shì)”，加深了學(xué)生對(duì)“變化趨勢(shì)”、“無(wú)限接近”、“極限”等感性的認(rèn)識(shí)。

2 無(wú)窮數(shù)列的概念—-讓學(xué)生理解數(shù)列也是一種函數(shù)，我們主要關(guān)心其變化趨勢(shì)

這里告訴學(xué)生：數(shù)列可以看作自變量為正整數(shù)的函數(shù)，即.這樣后面函數(shù)極限定義的講解可以從數(shù)列極限定義自然地過度。然后，讓學(xué)生對(duì)數(shù)列考察：當(dāng)時(shí)，這些數(shù)列分別無(wú)限接近多少。從而讓學(xué)生明白：對(duì)于數(shù)列，我們主要關(guān)心當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列無(wú)限接近什么？

3 通過觀察引出極限的描述性定義

通過第2部分的例子讓學(xué)生直觀地歸納出數(shù)列的描述性定義：“如果無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列無(wú)限接近于一個(gè)常數(shù)，則稱該數(shù)列以為極限，記作或.

如果這樣的常數(shù)不存在，則稱數(shù)列沒有極限。這里指出描述性定義易懂但不精確，科學(xué)的極限定義必須超越直觀與想象，在運(yùn)算和推理論證中具有可操作性，所以必須將“無(wú)限增大”、“無(wú)限接近”這些定性描述的語(yǔ)句轉(zhuǎn)換為定量的刻畫。

4 從極限的描述性定義向定義轉(zhuǎn)化

結(jié)論“無(wú)限接近于一個(gè)常數(shù)”的轉(zhuǎn)換：該語(yǔ)句等價(jià)于“距離可以任意小”，因此表達(dá)成“”，但此式的成立是以“無(wú)限增大”為前提的，這個(gè)前提條件表達(dá)成“(某項(xiàng)數(shù))，當(dāng)時(shí)”。所以“無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列無(wú)限接近于一個(gè)常數(shù)”的轉(zhuǎn)換成：“(某項(xiàng)數(shù))，當(dāng)時(shí)，有”。這相當(dāng)于說，時(shí)不必有，從項(xiàng)起后面的所有項(xiàng)皆有，即。

5 定義的進(jìn)一步分析

教師還須對(duì)定義作進(jìn)一步的解釋，要指出：

①是事先給定的任意小的正數(shù)，它具有兩重性。一是它的任意性，因此它不是一個(gè)固定的常數(shù)，它是用來刻畫無(wú)限接近于常數(shù)的程度的；二是它的相對(duì)固定性，一經(jīng)取定，就相對(duì)固定了下來，以便根據(jù)它去求出。

②的相對(duì)存在性。由相應(yīng)的確定，一般越小，越大，有時(shí)也記成，但并不意味著由唯一確定。重要的是存在，而不在乎其大小。

③與的關(guān)系：任意給定后，才能找到相應(yīng)的，當(dāng)滿足時(shí)，才有，其中是給定后才確定的。

6 從理性認(rèn)識(shí)又回歸感性認(rèn)識(shí)，對(duì)定義作出幾何解釋

介紹極限定義的幾何意義，將數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為幾何語(yǔ)言：不管多么小，總能找到一個(gè)正整數(shù)從項(xiàng)開始后面的所有項(xiàng)都落在點(diǎn)的鄰域內(nèi)，在鄰域外最多只有有限項(xiàng).通過對(duì)極限定義的幾何表達(dá)，學(xué)生對(duì)于圖像這樣的具體表現(xiàn)形式更容易接受和理解。

7 用極限的定義來證明數(shù)列的極限

首先分析如何用定義來證明.任意給定了之后，問題的關(guān)鍵就是找正整數(shù)使得當(dāng)時(shí)，就有都成立。那么怎么找呢？問題轉(zhuǎn)化為根據(jù)去找，也就是說，從不等式出發(fā)，去解一個(gè)關(guān)于的不等式，一定要推出的形式，這樣的就是我們要找的。

然后師生按定義證明極限。

指出論證的目的是對(duì)任意給出的考察相應(yīng)的是否存在，總結(jié)解題步驟，初步學(xué)習(xí)證明數(shù)列極限的方法，其中涉及不等式適當(dāng)放大的技巧。

8 課余討論題

讓學(xué)生討論問題“的功能可否用來替代，可否限制(其中為某正數(shù))，可否寫成？”，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)，的本質(zhì)。

9 布置作業(yè)

書后的習(xí)題約3到4題。

在這樣的教學(xué)過程中，極限的定義的難度得到了合理的分解，學(xué)生循序漸進(jìn)，最終達(dá)到理解、掌握和運(yùn)用的目標(biāo)，為后繼學(xué)習(xí)準(zhǔn)備了必要的基本工具。

參考文獻(xiàn)

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