例析共起點的三個向量問題

平面向量中有關共起點的三個向量問題，內容豐富，形式多樣，方法靈活.現分類舉例說明如下.

類型一：共起點的三個向量的終點共線

P 是平面OAB(O/∈AB)上的一個動點，且OP=x#8226;OA+y#8226;OB(x，y∈R)

，若P，A，B三點共線，則x+y=1；反之，若x+y=1，則P，A，B三點共線.

應用上述結論往往會使解決問題變得十分簡便.

【例1】 如圖1，在△ABC中，O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若AB=mAM，AC=nAN，

則m+n的值為 .

略解：OA=12(AB+AC)=m2AM+n2AN

因M、O、N三點共線，由上述結論有m2+n2=1，故m+n=2.

類型二：共起點的三個向量的終點不共線

這類問題解法較多，現分別說明如下：

1． 根據向量的幾何意義

【例2】 如圖2，

在平行四邊形ABCD中，O是AC與BD的交點，P、Q、M、N分別是線段OA、OB、OC、OD的中點，在A、P、M、C中任取一點記為E，在B、Q、N、D中任取一點記為F.設G為滿足向量OG=OE+OF的點，則在上述的點G組成的集合中的點落在平行四邊形ABCD外（不含邊界）的概率為 .

略解：由向量加法的幾何意義知，當E為A或C時，對應的點G都在平行四邊形ABCD外，當E為P時，F為Q、N時，G在平行四邊形ABCD內，同理E為M時，且F為Q、N時，G在平行四邊形ABCD內，所以落在平行四邊形ABCD外的概率為P=1-44×4=34.

2．根據向量的線性關系

【例3】 如圖3，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若AD=x#8226;AB+y#8226;AC，則x= ，y= .

略解：作DF垂直于AB的延長線于F，設AB=1，則AC=1，BC=2，ED=2，BD=62.

∴AD=(1+32)AB+

32AC，

∴x=1+32，y=32.

3．根據|a|2=(a)2

【例4】 給定兩個長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動，若OC=x#8226;OA+yOB，其中x，y∈R，則x+y的最大值是 .

略解：|OC|2=x2+y2-xy=1，則x2+y2=1+xy≤1+x2+y22x2+y2≤2.

又(x+y)22≤x2+y2≤2(x+y)2≤4|x+y|≤2.∴x+y≤2

，結果為2.

4．根據向量的坐標運算

【例5】 直線x＝2與雙曲線x24-y2=1的漸近線交于E1、E2兩點，記

OE1=e1，OE2=e2，任取雙曲線上的點P，若OP=ae1+be2(a，b∈R)，則a，b滿足的一個等式是 .

略解：由題意知，E1(2，1)，E2(2，-1)，

∴OE1=e1=(2，1)，OE2=e2=(2，-1)，

∴OP=ae1+be2=(2a+2b，a-b)，

∴

點P在雙曲線x24-y2=1上，∴(2a+2b)24-(a-b)2=1，化簡得

4ab=1.

5．根據其他向量的關系

【例6】 若等邊△ABC的邊長為23，平面內一點M滿足CM=16CB+23CA

，則MA#8226;MB= .

略解：合理建立直角坐標系.因為三角形是正三角形，故設C（0，0），A（23，0），B（3，3）.利于向量關系式得M（332，12），然后求得MA＝（32，-12），MB＝（-32，-52），運用數量積公式解得結果為-2.

(責任編輯 金 鈴）

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