函數(shù)圖象的平移規(guī)律探索

蘇科版九年級(jí)（下）數(shù)學(xué)教材在講解二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的性質(zhì)時(shí)，是將二次函數(shù)的解析式由簡(jiǎn)單的y=ax2(a≠0)（頂點(diǎn)在原點(diǎn)）逐漸過渡到y(tǒng)=ax2+c(a≠0)（頂點(diǎn)在y軸）、y=a(x-h)2(a≠0)（頂點(diǎn)在x軸）、y=a(x-h)2+k(a≠0)（頂點(diǎn)式），再到一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0).而前四種形式的二次函數(shù)圖象之間的聯(lián)系是通過對(duì)應(yīng)的拋物線的平移來實(shí)現(xiàn)的：

1．將拋物線y=ax2(a≠0)沿y軸上下平移c個(gè)單位，可得拋物線y=ax2±c(c≠0)，向上平移加c，向下平移減c.

2．將拋物線y=ax2(a≠0)沿x軸左右平移h個(gè)單位，可得拋物線y=a(x±h)2(a≠0)，向左平移加h，向右平移減h.

3．將拋物線y=ax2(a≠0)沿x軸左右平移h個(gè)單位，再沿y軸上下平移k個(gè)單位，可得拋物線y=a(x±h)2±k(a≠0)，向上加k，向下減k，向左加h，向右減h.

我們將以上的平移規(guī)律用八個(gè)字來概括，即“左加右減，上加下減”.

如：將拋物線y=-2x2沿x軸向右平移3個(gè)單位，再沿y軸向下平移4個(gè)單位得拋物線y=-2(x-3)2-4；將拋物線y=3(x-1)2+2沿x軸向左平移4個(gè)單位，再沿y軸向上平移3個(gè)單位，得拋物線y=3(x-1+4)2+2+3=3(x+3)2+5.

當(dāng)然有些平移在運(yùn)用此規(guī)律時(shí)要注意“相對(duì)運(yùn)動(dòng)”.如：

【例1】 將拋物線y1沿x軸向左平移5個(gè)單位，沿y軸向下平移2個(gè)單位后得拋物線y2=-(x-1)2+3，求y1.

分析：根據(jù)“相對(duì)運(yùn)動(dòng)”，將拋物線y2向上平移2個(gè)單位，再向右平移5個(gè)單位后可得y1，所以y1=-(x-1-5)2+3+2=-(x-6)2+5.

【例2】 拋物線y=(x-1)2+3在直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將x軸向下平移2個(gè)單位，將y軸向左平移3個(gè)單位后，求拋物線的解析式.

分析：根據(jù)“相對(duì)運(yùn)動(dòng)”， x軸和y軸的平移相對(duì)于拋物線來說應(yīng)有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：x軸向上平移2個(gè)單位對(duì)應(yīng)為拋物線向下平移2個(gè)單位；y軸向左平移3個(gè)單位對(duì)應(yīng)為拋物線向右平移3個(gè)單位，所以平移后拋物線為y=(x-1+3)2+3-2=(x+2)2+1.

如果拋物線的解析式是一般式，而非頂點(diǎn)式，又該如何利用此規(guī)律平移呢？

【例3】 將拋物線y=x2-2x-1沿y軸向下平移3個(gè)單位，再沿x軸向右平移4個(gè)單位，求平移后的拋物線解析式.

分析：可以選擇將y=x2-2x-1化為頂點(diǎn)式：y=(x-1)2-2，再應(yīng)用平移規(guī)律進(jìn)行平移得拋物線y=(x-1-4)2-2-3=(x-5)2-5.

但我們注意到不管是頂點(diǎn)式還是一般式，解析式中的x代表的都是自變量，是拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而y則對(duì)應(yīng)的是拋物線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以我們對(duì)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)同樣可以運(yùn)用“左加右減，上加下減”的平移法則.如例3中，平移后拋物線為y=(x-4)2-2(x-4)-1-3=x2-10x+20=(x-5)2-5.這樣，對(duì)于二次函數(shù)一般式，應(yīng)用此方法省去了轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式時(shí)配方的繁瑣.

“左加右減，上加下減”的平移法則不僅適用于二次函數(shù)的圖象，對(duì)一次函數(shù)、反比例函數(shù)同樣適用.

如：將直線y=2x-1沿x軸向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后得直線y=2(x-3)-1+2=2x-5；將雙曲線y=-2x沿x軸向左平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得圖像y=-2x+1+3.當(dāng)然，平移后得到的圖像已不再是反比例函數(shù)了.

(責(zé)任編輯 金 鈴）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文