漫談角的定義

初中幾何教材中角的定義有兩種.一種是用靜止的觀點給出的（定義1）：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊.

角的這個定義是一個“發生式定義”.這種定義方式的特點是：把被定義概念的本質特征寓于被定義概念的產生或形成狀況之中.在這個定義中，角的形成過程相對來說是“靜止”的，但它直觀形象地揭示出“角”這種圖形的兩個本質屬性（概念的內涵）：一是“兩條射線”，二是“有公共端點”，二者缺一不可.但是，這個定義的缺點是概念的“確定性”不夠，因為它定義的角是不確定的：是指小于平角的角呢，還是大于平角的角呢？從定義本身是看不出來的.為了彌補這一缺陷，教材在定義了平角、周角后，加上了一個重要規定：“本書今后所說的角，除非特別注明，都是指還沒有旋轉到平角時所成的角.”這樣一來，角（“除非特別注明”）的概念的量化范圍（概念的外延）是0°和180°之間的所有的角.

角的另一種定義是用運動的觀點給出的（定義2）：角可以看成是一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形.射線旋轉時經過的平面部分是角的內部.

角的這個定義也是一種“發生式定義”.但是，它是從“運動”的觀點來定義的.不過，定義2可以看成是定義1的深化和推廣.因為定義2相對于定義1，產生了大于平角，甚至大于周角的角，也包含了高中三角函數中的正角、負角的概念.

這兩個定義所揭示的內涵（射線和端點）是相同的，由此可以知道，角的大小只與角的兩邊張開的程度有關，而與畫在紙上的角的兩邊的長短無關.用它可以解答學生提出的問題（或教師提出思考題）：透過一個10倍的放大鏡看一個1.5°的角，這個角是否會放大到15°？答案：放大鏡不能放大角的度數.

角的這兩個定義主要的不同點是：（1）角的形成方式不同.定義1指的是兩邊的夾角（靜態），定義2指的是一邊旋轉到另一邊的旋轉角（動態）.（2）角的兩邊的“地位”不同.定義1的兩邊都是射線，它們的地位平等，都叫做角的邊，用數學符號記作∠AOB或∠BOA都一樣（如圖1）.而定義2的角的兩邊地位不一樣，一條邊是旋轉的起始位置（應稱始邊），另一條邊是旋轉的終止位置（應稱為終邊），而且在角的內部用弧形的箭號表示射線的旋轉方向(如圖3).但是在初

中幾何教材中沒有定義正角、負角的概念，所以教材中僅在敘述角的這一定義時，在插圖中用弧形的箭號標出了射線按逆時針方向旋轉，也許是一種約定，并與將來規定的正角不會矛盾.（3）角的大小范圍不同.定義1的角范圍小，定義2的角范圍大.但是，在幾何教材所規定的角都是指“還沒有旋轉到平角時所成的角”的限制下，角的范圍都是在0°和180°之間.這樣，角的這兩個定義就統一起來了，從而保證了角的概念的確定性.

圖1圖2

關于角還有一個概念性的問題：角到底包括哪些點？有人認為，無論是定義1還是定義2，都表明角由它的頂點及兩邊上所有的點組成，形象地說，角是一個由頂點和邊線組成的“線框”.也有人認為，角的頂點還應該包括角的內部，形象地說，角是一塊由頂點、邊線及邊線所夾的平面組成的“面板”，例如，度量角的大小，實質上是度量這塊“面板”角，作角的平分線，實質上是把這塊“面板”角平分.其實，這兩種觀點都有道理，而且在教材中關于角的定義，雖未指明角到底是“線框”還是“面板”，但在事實上，度量角的大小時，把角看成“面板”，而在其他時候，則把角看成“線框”.中學幾何教材中主要是把角看成“線框”來處理的.因此，可以明確指出：當涉及角的大小時，角可以看成“面板”；而在其他問題中，角看成“線框”.

例如，用角的“面板”觀點，可以使學生容易辨別直線與平角是兩個不同的概念：直線本身僅是一條直線而已；而平角雖然其兩邊互為反向延長線，但平角并不是指這條直線，而是指射線旋轉到終止位置與起始位置成一直線時，射線旋轉掃過的平面部分.這樣，也容易區別射線和周角是兩個不同的概念.

(責任編輯 金 鈴）